第四讲 数列求和及数列的综合应用
考法1 数列求和
命题角度1 用公式法和分组转化法求和
1 [2024山东五地联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2 - S2x+2<0的解集为(1,2). (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=a2n+2???? - 1,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)先设等差数列{an}的公差为d,再根据题意求出a1与d,进而可求出数列{an}的通项
公式;(2)先由(1)的结论及bn=a2n+2???? - 1求出bn,再利用等差数列与等比数列的求和公式,以及分组转化法,即可求出结果.
(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为关于x的不等式a1x2 - S2x+2<0的解集为(1,2),
所以??2=1+2=3,又S2=2a1+d,所以a1=d, ...................................... (1,2为一元二次方程a1x2 - S2x+2=0的两根)
1
??
易知=2,所以a1=1,d=1.
??1
2
所以数列{an}的通项公式为an=n. (2)由(1)可得,a2n=2n,2????=2n. 因为bn=a2n+2???? - 1, 所以bn=2n - 1+2n,
所以数列{bn}的前n项和Tn=(1+3+5+…+2n - 1)+(2+22+23+…+2n) ............................... (分成两组求和) =
??(1+2?? - 1)
2
+
2(1 - 2??)1 - 2
....................................................................... (用等差(比)数列的求和公式时注意项数)
=n2+2n+1 - 2. 解后反思
此题的易错点有两处:一是忽视数列通项的下标,导致所求的结果出错,如在求bn时易误得
a2n=n,即等号左边的下标已变,右边的代数式没变,导致所得的结果出错;二是用等差数列或等比数列的前n项和公式时,弄错项数,导致求和出错.
1.[2024湖南长沙雅礼中学模拟]春夏季节是流感多发期,某地医院近30天每天入
院治疗流感的人数依次构成数列{an},已知a1=1,a2=2,且满足an+2 - an=1+( - 1)n(n∈N*),则该医院近30天入院治疗流感的总人数为 .
命题角度2 用错位相减法求和
2 [2017天津,18,13分]已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4 - 2a1,S11=11b4. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n - 1}的前n项和(n∈N*).
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0). 因为b2+b3=12,所以b1(q+q2)=12. 又b1=2,所以q+q2 - 6=0, 解得q=2(q= - 3舍去),所以bn=2n. 由b3=a4 - 2a1,S11=11b4,可得{??=1,解得{1所以an=3n - 2.
??=3,
所以数列{an}的通项公式为an=3n - 2,数列{bn}的通项公式为bn=2n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a2n=6n - 2,b2n - 1=2×4n - 1.
设数列{a2nb2n - 1}的前n项和为Tn,a2nb2n - 1=(3n - 1)×4n, 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n - 1)×4n ①, 4Tn=2×42+5×43+…+(3n - 4)×4n+(3n - 1)×4n+1 ②, ① - ②得,
- 3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n - (3n - 1)×4n+1 .................................... (错位相减时,注意最后一项的符号)
8=3?? - ??1,11??1+
211×10
................................................ (构造方程组)
??=11×24,
=
12×(1 - 4??)
1 - 4
- 4 - (3n - 1)×4n+1 .................................................................. (用公式法求和时,注意项数)
= - (3n - 2)×4n+1 - 8,
3?? - 23
所以Tn=
×4n+1+3.
3?? - 23
8
故数列{a2nb2n - 1}的前n项和为
×4n+1+.
3
8
2.[2024四川五校联考]设数列{an}是等差数列,数列{bn}的前n项和Sn满足
2Sn=3(bn - 1)且a1=b1,a4=b2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求{anbn}的前n项和Tn.
命题角度3 用裂项相消法求和
3[2024广东惠州第三次调研]已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=n2+3n,n∈N*. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{??
1
2?? - 1??2??+1
}的前n项和Tn.
??1,??=1,
可求出{an}的通项公式;(2)利用(1)的结论,求出数列
???? - ???? - 1,??≥2
(1)利用an={
{
1
??2?? - 1??2??+1
}的通项,再利用裂项相消法求出其前n项和Tn.
(1)当n≥2时,2Sn - 1=(n - 1)2+3(n - 1), 又2Sn=n2+3n,两式相减得2an=2n+2,所以an=n+1. 当n=1时,2S1=2a1=4,解得a1=2.
因为a1=2满足式子an=n+1, ...................................................................................... (验证首项不能漏) 故{an}的通项公式为an=n+1(n∈N*). (2)由(1)知??
1
1
2?? - 1??2??+1
=2??(2??+2)=4×??(??+1)=4(?????+1), .................................. (裂项,注意系数4不要漏)
1
1
1
1111111
所以Tn=4[(1?2)+(2?3)+…+(?????+1)] =4(1 - ??+1)
1
1
111
=
??4??+4
.
3.[2017全国卷Ⅱ,15,5分]等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则
= .
命题角度4 用倒序相加法求和
4已知函数f (x)=4??+2,数列{an}的通项公式为an=f (2 020),则数列{an}的前2 019项和为 .
由题意可得f (x)+f (1 - x)=4??+2+41 - ??+2=4??+2+1+2·4?? - 1=4??+2+2+4??=1. 因为数列{an}的前2 019项和
S2 019=f (2 020)+f (2 020)+…+f (2 020)+f (2 020) ①, .................................... (这个等式的右边是2 019项的和) 所以S2 019=f (2 020)+f (2 020)+…+f (2 020)+f (2 020) ②, ......................................................... (倒过来写) ①+②得,2S2 019=[f (所以S2 019=
2 0192
12 020
2 019
2 018
2
1
1
2
2 018
2 0194??
41 - ??
4??
1
4??
2
4??
??
)+f (
2 0192 020
)]+[f (
2
2 020
)+f (
2 0182 020
)]+…+[f (.
2 0192 020
)+f (
1
2 020
)]=2 019×1=2 019,
,所以数列{an}的前2 019项和为
2 0192
4.已知平面向量a=(lg x,1),b=(1,lg y)满足a·b=12,且S=lg xn+lg(xn - 1y)+lg(xn -
22
y)+…+lg(xyn - 1)+lg yn,则S= .
命题角度5 用并项求和法求和
5 [2016天津,18,13分][文]已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且?
??1
2??3
11??2
=
,S6=63.
(1)求{an}的通项公式;
2
(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{( - 1)n????}的前2n项和.
(1)根据已知等式及S6=63求得q,进而求得首项,即可得到{an}的通项公式;(2)先由(1)
2得{bn}的通项公式,再用并项求和法求数列{( - 1)n????}的前2n项和.
(1)设数列{an}的公比为q.由已知,有???????= ??
1
1
112
1
,解得q=2或q= - 1.又由S6=a1·1 - ??=63,知??2
1 - ??6
q≠ - 1,所以a1·1 - 2=63,解得a1=1.所以an=2n - 1.
(2)由题意,得bn=2(log2an+log2an+1)=2(log22n - 1+log22n)=n - 2,即{bn}是首项为2,公差为1的等差数列.
1
1
1
1
1 - 26
2
设数列{( - 1)n????}的前n项和为Tn,则
222222T2n=( - ??1+??2)+( - ??3+??4)+…+( - ??2?? - 1+??2??)=b1+b2+b3+b4+…+b2n - 1+b2n=
2??(??1+??2??)
2
=2n2.
5.[2024合肥市调研检测]设an=( - 1)n - 1·n2,则a1+a2+a3+…+a51= .
考法2 等差、等比数列的综合问题
6 [2024天津,18,13分][文]设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足cn={
1,??为奇数,
??
2求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).
??,??为偶数.
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由已知条件建立方程组进行
求解即可;(Ⅱ)利用分组求和法及错位相减法求解.
3??=3+2??,
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0).依题意,得{2
3??=15+4??,??=3,解得{故an=3+3(n - 1)=3n,bn=3×3n - 1=3n.
??=3,所以{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n. (Ⅱ)a1c1+a2c2+…+a2nc2n=(a1+a3+a5+…+ a2n
1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)=[n×3+
??(?? - 1)2
-
×6]+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)=3n2+6(1×31+2×32+…
+n×3n).
记Tn=1×31+2×32+…+n×3n ①, 则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1 ②,
② - ①得,2Tn= - 3 - 32 - 33 - … - 3n+n×3n+1= - 所以,a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3×
3(1 - 3??)1 - 3
+n×3n+1==
(2?? - 1)3??+1+3
2
.
(2?? - 1)3??+1+3
2
(2?? - 1)3??+2+6??2+9
2
(n∈N*).
考法3 数列与其他知识的综合 命题角度1 数列与函数的交汇
7[2024吉林长春联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d>0,a6和a8是函数f (x)=4ln x+2x2 - 8x的极值点,则S8=
1
15
A. - 38
B.38 C. - 17
D.17
2024届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第六章第四讲 数列求和及数列的综合应用
