（三）计算题
（一）单项选择题
A. 在(a,b)内连续
B. 在(a,b)内可导
C. 0
A. 1
C. (2,??)
A. (??,2)
C. 在(a,b)内连续且可导
A. 单调减少且是凸的 C. 单调增加且是凸的
C. f?(x0)?0,f??(x0)?0
值．
A. f?(x0)?0,f??(x0)?0
D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导
解：y＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y＇=0求得驻点x=1，5.列表
22232 ⒍函数f(x)?2?5x?3x的拐点是 x=0 ⒋函数f(x)?e的单调增加区间是 (0，+∞) ． ⒉函数f(x)?x?4x?1的单调增加区间是（D）．
⒊函数y?x?4x?5在区间(?6,6)内满足（A）．
⒊函数y?ln(1?x)的单调减少区间是 (-∞，0) ． ⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值．
A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C）．
⒎若点(1,0)是函数f(x)?ax?bx?2的拐点，则a? ⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f(?)?f(x)的 极小值 点．
⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ． ⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是 f(a) ． ⒎设函数f(x)?ax?(ax)?ax?a在点x?1处取得极大值?2，则a?（ ）．
⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（A）．
（二）填空题
⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是
A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（C ），则f(x)在x0取到极小
xy＇
B. (?1,1)(-∞，1)
+
x23230
1
231 31D. ?3B.
2D. (?2,??)D. f?(x0)?0,f??(x0)?0B. f?(x0)?0,f??(x0)?0B. 单调减少且是凹的D. 单调增加且是凹的
—
(1，5)
．0
5(5，+∞)
f(b)?f(a)．
b?a ，b? +
． xy＇
--0
(0，1)
y
3
↓
2∴ S=2πR2+2V/ R
2解 右图为圆柱体的截面，由图可得R2=L2-H2
圆柱体的体积V=πR2H=π(L2-H2)H
解：圆柱体的表面积S=2πR2+2πRH
由体积V=πR2H解得H=V/πR2
=2x-2，由(d 2)＇=0求得x=1，由此得所求点有两个：(1,3L，V＇=π(L2-3H2)，由V＇=0解得H?3623L，圆柱体的体积V??L3最大。此时R?39解：曲线y2=2x上的点(x，y)到点A(2，0)的距离d?由S＇=0解得R?32
↑
0
+
1
S＇=4πR - 2V/ R2=2(2πR3 - V) / R2
6
(1，3)
VV，此时H?2??33
⒐从周长为L的所有矩形中，求其面积最大者．
答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。
⒏从面积为S的所有矩形中，求其周长最小者．
⒉求函数y?3(x?2x)在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值．
2),(1,?2)⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？
⒊试确定函数y?ax3?bx2?cx?d中的a,b,c,d，使函数图形过点(?2,44)和点(1,?10)，且x??2是驻点，x?1是拐点．
⒋求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．
（四）证明题
⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)．
证明：令f(x)=x-ln(1+x)， f(x)=1-1/ (1+x)=x/ (1+x)
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=0∴当x＞0时f (x)＞0，即x＞ln(1+x)
⒉当x?0时，证明不等式ex?x?1．
证明：令f(x)=ex/ (x+1)，
4?238V??2R22?Vy ↑Ymax=32↓Ymin=0↑
(-∞，1)和 (5，+∞)为单调增区间， (1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。
⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？
解：y＇=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间[0，3]上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。
⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底面边长为a高为h
表面积S=a 2+4ah∵a 2h =62.5，∴h =62.5/ a 2
S=a 2+250/a， S＇=2a - 250/a 2=(2a 3 – 250)/a 2，
由S＇=0解得a =5m，h =2.5m，此时S=75m2最小，即用料最省。LRR(x?2)2?(2x?0)2 d 2=x2-2x+4，(d 2)＇
ahHH ⒋
C.
C.
A.
A.
A.
⒌若
????aabb??（二）填空题
（一）单项选择题
?f?(x)dx?域的面积是（ ）．
A. lnx
1 x⒊若f(x)?cosx，则
1?1xdx ??1dx C. ?1x A. sinx?c C. ?sinx?c
A. F(x)?c
C. F(2x)?c
⒈函数f(x)的不定积分是
⒈若f(x)的一个原函数是
C. df(x)dx?f(x)
⒉下列等式成立的是（D）．
d23xf(x)dx?（D）．?dx3 A. f(x)
1 C. f(x)
3[f(x)?g(x)]dx
f(x)?g(x)dx
f(x)dx?F(x)?c，则? ⒎下列无穷限积分收敛的是（D）．
f＇(x)=[ ex(x+1)- ex]/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2
当x＞0时有f＇(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)=1∴当x＞0时f (x)＞1，即ex＞x+1
G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式 F(x)=G(x)+c ． ⒉若函数F(x)与2xf(x)
x ⒍由区间[a,b]上的两条光滑曲线y?f(x)和y?g(x)以及两条直线x?a和x?b所围成的平面区
edx1xD. D.
?f?(x)dx?（B）．
?f(x)dx?D.
21，则f?(x)?（D）．x1B. ?2x2D. 3x第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
D.
B. xf(x)D.
B.
B.
B. cosx?cD. ?cosx?cB. df(x)?f(x)B. 2F(x)?cf(x)dx?（B）．
?13?
1f(x3)3F(x)?c??df(x)dx?f(x)dx?高等数学基础第四次作业
10
ab??a??
b[f(x)?g(x)]dx[g(x)?f(x)]dx
exdx
1dxx2
⒍
?证明：
03证明：
⒌若
0?cos?a?a?a?ax2（三）计算题
（四）证明题
则??af(x)dx???a00?a0a0a0a则??af(x)dx???a ⒊dedx? ⒋(tanx)?dx? tanx+c ．15(sinx?)dx? 3 ．??32??1dx收敛，则p ＞1 ． ⒎若无穷积分?p1x⒊证明：
⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则
⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则
?f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)? -9cos3x ．f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，在第一项中令
f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，在第一项中令
1xdx??cos1(?1)dx??cox1d(1)??sin1?c⒈??xx2?xxxx21exdx?2?exd(x)?2ex?c⒉?dx?2?ex2xx11dx??d(lnx)?ln|lnx|?c⒊?xlnxlnx11x1⒋?xsin2xdx??x(?cos2x)?dx?(?xcos2x??(x)?cos2xdx)??cos2x?sin2x?c2224e3?lnxe31117dx??[?lnx()]dx?(3lnx?ln2x)|?3??⒌?11xxx2221111?2x11?21?2x13e?2?1?2x1?2x?2x⒍?xedx???x(e)?dx?(xe|??edx)?(e?e|)?000020222422exexeex211x2e3?e2lnx)|???dx??|?⒎?xlnxdx??()?lnxdx?(1111222x2414elnxe1e1e111e2?dx??()lnxdx??lnx?dx????1?⒏?||?1x?1x211x2xex1e?a?a00?af(x)dx??[f(x)?f(?x)]dxf(?t)dt???f(t)dt???f(x)dx，∴?f(x)dx?0
f(?t)dt??f(t)dt??f(x)dx，∴?f(x)dx?2?f(x)dx0a ．0a0a0a??a?aa?aaa?aaf(x)dx?0．
f(x)dx?2?f(x)dx．
?a0x = - t，
x = - t，
0a
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