8.2 立体图形的直观图
课后篇巩固提升
基础巩固
1.长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A.①② C.②⑤ 答案C 解析由斜二测画法知,长方形的直观图应为平行四边形,且锐角为45°,故②⑤正确. 2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',则△ABC是( )
B.①②③ D.③④⑤
A.等腰三角形 答案B 解析∵A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.
又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.
3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
A.AB 答案D 解析△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,
则AC>AB,AC>AD,AC>BC. 4.
B.AD
C.BC
D.AC
如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是 A.正方形 答案C 解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2√2.
在原图形中,OD=4√2,CD=2,则OD⊥CD.
B.矩形
C.菱形
D.梯形
( )
∴OC=√(4√2)2+22=6=OA,∴原图形是菱形.
5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,上底为1,腰为√2的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A.2 答案C √2B.2√2 C.4√2 D.8√2
解析依题意,四边形ABCD 是一个底角为45°,上底为1,腰为√2的等腰梯形.过C,D分别做CF⊥AB,DE⊥AB,
则△ADE和△BCF为斜边长为√2的等腰直角三角形.∴AE=DE=BF=1,又EF=CD=1,
∴梯形ABCD的面积S'=2×(1+3)×1=2.
∵在用斜二测画法画直观图时,直观图的面积S'与原图的面积S之比为4,∴S=√2×2=4√2.
6.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是 .
√21
4
答案16或64
解析若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.
7.如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为 .
答案4√2 解析由直观图与原图形中边OB长度不变,且S原=2√2S直观,得2·OB·h=2√2×2×2O'B'.
1
1
∵OB=O'B',∴h=4√2.
8.
水平放置的△ABC的斜二测直观图如图,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度为 . 答案 解析由斜二测画法知△ABC中∠C=90°,
52∵AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,∴AB=5, ∴AB边上的中线的实际长度为2.
9.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
5
解画法:
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD.
(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
1
2
12
12
10.用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
图①
(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD.
图②
(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).
能力提升
1.
如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为 . 答案2a2
解析过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.
√6
过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',则C'D'=2a.
√3∴∠C'M'D'=45°,∴C'M'=2a.∴原三角形的高CM=√6a,底边长为a,其面积为S=2×a×√6a=2a2,
或S直观=4S原,∴S原=√2√61√64√32√62
·a=2a. √242.如图,画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
画法(1)如图①,在已知等腰梯形中以底边AB所在的直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.如图②,画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°.
(2)设DC与y轴的交点为E,在x'轴上取A'B'=AB,且使O'为A'B'的中点,在y'轴上取O'E'=OE,过点E'作x'轴的平行线l,在l上取点D',C',使得E'C'=EC,D'E'=DE.如图③.
1
2
(3)连接A'D',B'C',擦去辅助线,得到等腰梯形ABCD的直观图,如图④.
新教材人教版高中数学必修1 第八章 8.2 立体图形的直观图
