3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
学 习 目 标 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.能用集合与对应的语言刻画出函数,体会对应关系在刻画数学概念中的作用.(重点、难点) 2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.(重点) 3.能够正确使用区间表示数集.(易混点) 核 心 素 养 1.通过学习函数的概念,培养数学抽象素养. 2.借助函数定义域的求解,培养数学运算素养. 3.借助f(x)与f(a)的关系,培养逻辑推理素养.
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意定义 一个数x按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 定义域 值域 y=f(x),x∈A 自变量x的取值范围 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 思考1:(1)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗?
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(2)f(x)与f(a)有何区别与联系? 提示:(1)这种看法不对.
符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.
2.区间及有关概念 (1)一般区间的表示
设a,b∈R,且a
(2)“∞”是数吗?如何正确使用“∞”?
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提示:(1)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示. (2)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.
1.函数y=
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的定义域是( ) x+1
B.[-1,0) D.(-1,0)
A.[-1,+∞) C.(-1,+∞) C [由x+1>0得x>-1.
所以函数的定义域为(-1,+∞).] 2.若f(x)=
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,则f(3)=________. 1-x2
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- [f(3)==-8.] 81-93.用区间表示下列集合:
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________; (2){x|x>1}用区间表示为________.
(1)[10,100] (2)(1,+∞) [结合区间的定义可知(1)为[10,100],(2)为(1,+∞).]
函数的概念
【例1】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f(x)=-2x3与g(x)=x-2x; ②f(x)=x与g(x)=x2; 1③f(x)=x0与g(x)=x0;
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
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A.①② C.③④
B.①③ D.①④
(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.
①A=N,B=N*,对应法则f:对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应; ②A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应法则f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},对应法则f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ④A={三角形},B={x|x>0},对应法则f:对A中元素求面积与B中元素对应.
(1)C [①f(x)=故不是同一函数.
②g(x)=x2=|x|与f(x)=x的对应法则和值域不同,故不是同一函数. 1
③f(x)=x0与g(x)=x0都可化为y=1且定义域是{x|x≠0},故是同一函数. ④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应法则也相同,而与用什么字母表示无关,故是同一函数.
由上可知是同一函数的是③④. 故选C.]
(2)[解] ①对于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素0在B中没有元素与之对应,所以不是函数.
②对于A中的元素±1,在f的作用下与B中的1对应,A中的元素±2,在f的作用下与B中的4对应,所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,故是函数.
③对于A中的任一元素,在对应关系f的作用下,B中都有唯一的元素与之对应,如±1对应1,±2对应4,所以是函数.
④集合A不是数集,故不是函数.]
-2x3=|x|
-2x与g(x)=x
-2x的对应法则和值域不同,
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1.判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B必须是非空实数集.
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.
2.判断函数相等的方法
(1)先看定义域,若定义域不同,则不相等;
(2)若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.
1.下列四个图象中,不是函数图象的是( )
A B C D
B [根据函数的定义知:y是x的函数中,x确定一个值,y就随之确定一个值,体现在图象上,图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点,对照选项,可知只有B不符合此条件.故选B.]
2.下列各组函数中是相等函数的是( ) x2-1
A.y=x+1与y=
x-1B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2
B [A,C选项中两函数的定义域不同,D选项中两函数的对应关系不同,故A,C,D错误,选B.]
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《3.1 函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
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