3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
学 习 目 标 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3．能够正确使用区间表示数集．(易混点) 核 心 素 养 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意定义 一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 定义域 值域 y＝f(x)，x∈A 自变量x的取值范围 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
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(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？ 提示：(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a (2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？ 2 提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号． 1．函数y＝ 1 的定义域是( ) x＋1 B．[－1,0) D．(－1,0) A．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞) C [由x＋1>0得x>－1. 所以函数的定义域为(－1，＋∞)．] 2．若f(x)＝ 1 ，则f(3)＝________. 1－x2 111 － [f(3)＝＝－8.] 81－93．用区间表示下列集合： (1){x|10≤x≤100}用区间表示为________； (2){x|x>1}用区间表示为________． (1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．] 函数的概念 【例1】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x； ②f(x)＝x与g(x)＝x2； 1③f(x)＝x0与g(x)＝x0； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. 3 A．①② C．③④ B．①③ D．①④ (2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． ①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应． (1)C [①f(x)＝故不是同一函数． ②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数． 1 ③f(x)＝x0与g(x)＝x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数． ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数． 由上可知是同一函数的是③④. 故选C.] (2)[解] ①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． ②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． ③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． ④集合A不是数集，故不是函数．] －2x3＝|x| －2x与g(x)＝x －2x的对应法则和值域不同， 4 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 1．下列四个图象中，不是函数图象的是( ) A B C D B [根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.] 2．下列各组函数中是相等函数的是( ) x2－1 A．y＝x＋1与y＝ x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 B [A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.] 5
《3.1 函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
