2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理科）
一.填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的
1.在等差数列{an}中，a2?1,a4?5,则{an}的前5项和S5= A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】 2.不等式
??x?12x?1?0的解集为
a2?1,a4?5?S5?a1?a52?5?a2?a42?5?15
A.??11?1????1??,1? B.??,1? C.???.????1,??? D.???,????1,??? 2?2?2???2??【答案】A
?(2x?1)(x?1)?01?0????x?1 ?【解析】
2x?1?02x?12?x?1
3.对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x?y?2的位置关系一定是
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 【答案】C
【解析】直线y?kx?1过圆内内一定点(0,1) ?4.???x??的展开式中常数项为
2x?1822A.
35168【答案】B
B.
35 C.
354 D.105
【解析】
x,12x取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为C8?()?2414358
5、设tan?,tan?是方程x?3x?2?0的两个根，则tan(???)的值为
2（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 【答案】A
【解析】tan??tan??3,tan?tan??2,tan(???)?
6、设x,y?R，向量a??x,1?,b??1,y?,c??2,?4?，且a?c,b//c，则a?b?_______ （A）5 （B）10 （C）25 （D）10 【答案】B
???????2x?4?0?x?2a?c,b//c?????a?b?(3,?1)?2y??4y??2【解析】??10tan??tan?1?tan?tan???3
7、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 【答案】D
【解析】由f(x)是定义在R上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数
8、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f?(x)，且函数y?(1?x)f?(x)的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 （A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 【答案】D
【解析】x?1时，f?(x)?0?1?x?2,f?(x)?0?x?2
x?1时，f?(x)?0??2?x?1,f?(x)?0?x??2
得：f?(x)?0??2?x?2,f?(x)?0?x??2或x?2
函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2)
9、设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是
（A）(0,2) （B）(0,3) （C）(1,2) （D）(1,3) 【答案】A
【解析】取长2的棱的中点与长为a的端点B,C；则AB?AC?22?a?BC?2
10、设平面点集A??(x,y)(y?x)(y???1?22)?0?,B?(x,y)(x?1)?(y?1)?1，则x???A?B所表示的平面图形的面积为
34?? （B）? （C）? （D） 4572【答案】D
（A）
3【解析】由对称性：
y?x,y?1x,(x?1)?(y?1)?1围成的面积与y?x,y?221x,(x?1)?(y?1)?1
22围成的面积相等 得：A?B所表示的平面图形的面积为y?x,(x?1)2?(y?1)2?1 围成的面积既
12??R?2?2
二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上
11、若?1?i??2?i?=a+bi，其中a,b?R,i为虚数单位，则a?b? ； 【答案】4
【解析】(1?i)(2?i)?1?3i?a?bi?a?1,b?3?a?b?4 12、lim1n?5n?n252n??? 。
【答案】
1n?5n?n2【解析】limn???limn?5n?n5n2n???lim1?5/n?15n???25
13、设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA?【答案】
14535,cosB?513,b?3,则c?
355135665cosA?,cosB?c,b?3?sinC?sin(A?B)?bsinCsinB?145【解析】
bsinB
?sinC?c?
14、过抛物线y2?2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若AB?AF= 。
2512,AF?BF,则
【答案】
56
251256
AF?m,BF?n,?AFx???m?n?【解析】设
m?p?mcos?,n?p?ncos?(p?1)?m?
15、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】
35
【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课，排列有种排法，语文、数学、英语
4322113三门文化课相邻有A4A3种排法，语文、数学、英语三门文化课两门相邻有C3A2C2C2A3种
排法。 故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为
35
三 解答题：本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设f(x)?alnx?直于y轴.
（Ⅰ） 求a的值； （Ⅱ） 求函数f(x)的极值.
12x?32x?1,其中a?R，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂
【解析】（1）因f?x??alnx?12x?32x?1，故f??x??ax?12x2?32
由于曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f??1??0， 从而a?12?32?0，解得a??1
12x?32x?1?x?0?，
（2）由（1）知f?x???lnx?1x12x2f??x????f??x????32?3x?2x?12x22
(3x?1)(x?1)2x2
13令f??x??0，解得x1?1,x2??（因x2??13不在定义域内，舍去），
当x??0,1?时，f??x??0，故f?x?在?0,1?上为减函数； 当x??1,???时，f??x??0，故f?x?在?1,???上为增函数； 故f?x?在x?1处取得极小值f?1??3。
17、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为为
1213，乙每次投篮投中的概率
，且各次投篮互不影响. （Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数?的分布列与期望
【解析】设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则
P?Ak??13，P?Bk??12， k??1,2,?3
（1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，P?C??P?A1??PA1B1A2?PA1B1A2B2A3
?P?A1??PA1PB1P?A2??PA1PB1PA2PB2P?A3?
????????12????????1?2??1????????????3323?3??2?31212
?13?19?127?1327
（2）?的所有可能为：1,2,3
由独立性知：P???1??P?A1??PA1B1???13?23?12?232
2P???2??PA1B1A2?PA1B1A2B22????22?2??1?????????? 323?3??2?9211P???3??PA1B1A2B2??1?2??1???????
9?3??2?综上知，?有分布列 ? P 1 23232 2929?3?19?1393 19 （次）
从而，E??1?
?2?18、（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）
?设f?x??4cos(?x?)sin?x?cos(2?x??)，其中??0.
6（Ⅰ）求函数y?f?x? 的值域 （Ⅱ）若f?x?在区间????3???求 ?的最大,?上为增函数，
22?值。
【解析】（Ⅰ）
?3?1f?x??4?cos?x?sin?x?sin?x?cos2?x
?2?2??
?23si?nxc?oxs?22s?ixn?2?cxo?s2? xsin ?3sin?2x? 1因?1?sin2?x?1，所以函数y?f?x?的值域为?1??3,1?3?
?????（Ⅱ）因y?sin,2k????k?Z?上为增函数，故x在每个闭区间?2k??22??f?x??3sin2?x?1???0?在每个闭区间
?k????k??,??k?Z?上为增函数。 ???4??4???依题意知????3????k????k?对某个k?Z成立，此时必有k?0，于是 ,????,??22?4??4??????3?????11?24?，解得??，故?的最大值为。 ?66?????4??2
19、（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 （Ⅰ）求点C到平面A1ABB1 的距离;
（Ⅱ）若AB1?A1C,求二面角 A1?CD?C1的平面角的余弦值。
【解析】（Ⅰ）由AC?BC,D为AB的中点，得CD?AB，又CD?A1A，故
CD?面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为
CD?BC?BD?225 (Ⅱ)如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1,则
DD1∥AA1∥CC1,
CD?DD1，又由（Ⅰ）知CD?面A1ABB1，故CD?AD1所以?A1DD1为所求的二面角A1?CD?C1的平面角。
因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1?A1C，由三垂线定理的逆定理得
AB1?A1D，从而?A1AB1,?ADA都与?B1AB互余，因此?A1AB1??A1DA，所以1Rt?AAD?1R?t1B1A，因此，AAA1AD?A1B1AA12,即AA1?AD?A1B1?8,得AA1?22。
从而A1D?
AA1?AD22?23,所以，在Rt?A1DD1中，cosA1DD1?DD1A1D?AA1A1D?63
20、（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，线段
OF1,OF2的中点分别为B1,B2，且△AB1B2 是面积为4的直角三角形。
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2?QB2，求直线l的方程 【解析】设所求椭圆的标准方程为xa22?yb22?1?a?b?0?，右焦点为F2?c,0?。
因?AB1B2是直角三角形，又AB1?AB2OA?,故?B1AB2为直角，因此
c2,得b?OB2a?2。
b得
4b?a?bca222结合c2?a?5b,?c222，故
255。
e?，所以离心率4b? 在Rt?AB1B2中，OA?B1B2，故
S?AB1B2?12B1B2?OA?OB2?OA?c2?b?b
2222由题设条件S?ABB?4，得b?4，从而a?5b?20。
12因此所求椭圆的标准方程为： x220?y24?1
B)（2）由（1）知B1(?2,0),(2,0，由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：
22x?my?2，代入椭圆方程得?m?5?y?4my?16?0，
设P?x1,y2?,Q?x2,y2?，则y1,y2是上面方程的两根，因此
y1?y2?4mm?52,y1?y2??16m?52
??????????又B2P??x1?2,y1?,B2Q??x2?2,y2?，所以 ??????????B2P?B2Q??x1?2??x2?2??y1y2
??my1?4??my2?4??yy 21 ??m2?1?yy?4m?1216?m?1?21y??2y?1 6 ??m?522?16m22m?5?16
16m?64 ?? 2m?5??????????由PB2?QB1,得B2P?B2Q?0,即16m2?64?0，解得m??2，
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x?2y?2?0和x?2y?2?0 21、（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。）
设数列?an?的前n项和Sn满足Sn?1?a2Sn?a1，其中a2?0。 （I）求证：?an?是首项为1的等比数列；
（II）
若a2??1，求证：Sn?n2(a1?an)，并给出等号成立的充要条件。
【解析】（1）证明：由S2?a2S1?a1，得a1?a2?a1a2?a1，即a2?a2a1。 因a2?0，故a1?1，得
a2a1?a2，
又由题设条件知Sn?2?a2Sn?1?a1，Sn?1?a2Sn?a1 两式相减得Sn?2?Sn?1?a2?Sn?1?Sn?，即an?2?a2an?1， 由a2?0，知an?1?0，因此
an?2an?1an?2an?1?a2
综上，
?a2对所有n?N成立，从而?an?是首项为1，公比为a2的等比数列。
*（2）当n?1或2时，显然Sn?n2(a1?an)，等号成立。
n?1 设n?3，a2??1且a2?0，由（1）知，a1?1，an?a2，所以要证的不等式
化为：
1?a2?a2???a22n?1?n1?a?2n?12??n?3?
即证：1?a2?a22???a2n?n?12?1?a??n?2?
n2当a2?1时，上面不等式的等号成立。 当?1?a2?1时，a2r?1与a2n?r?1，（r?3,21,当a2?1时， a2r?1与a2n?r?1，（r?3,21,1?n?）同为负； 1?n?）同为正；
因此当a2??1且a2?1时，总有 （a2r?1）（a2n?r?1）>0,即
a2?a2rn?r（r?3?1?a2，,21,n。 1?n?）
上面不等式对r从1到n?1求和得，2(a2?a22???a2n?r)?(n?1)?1?a2n? 由此得1?a2?a2???a2?2nn?12?1?a?
n2综上，当a2??1且a2?0时，有Sn?n2(a1?an)，当且仅当n?1,2或a2?1时等号成立。
2012年高考重庆理科数学试卷和答案（word完美解析版）
