第三讲：与三角形有关的角度求和
【知识要点】
1．与三角形有关的四个基本图及其演变；
2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】
例一、如图，直接写出∠D与∠A、∠B、∠C之间的数量关系. AAA D DB CBBCC D箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：
例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 A1．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I，探求∠I与∠A的关系； I CB
AA的关2．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I，探求∠I与∠
系；
I DCB
3．如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I，探求∠AI与∠A的关系.
BC
DE
I
例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点I，探索∠I与∠A、∠D之间的数量关系.
AA B
IIADIDCBCBDC
发散探索二：如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I，A探索∠I与∠A、∠D之间的数量关系. AIAD I
发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I，
AAA探索∠I与∠A、∠D之间的数量关系.
D
DBC
DB BCE FCEE FIFII
BDCEBIECEBDC
2
例四、如图，在△ABC中， BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ三等分∠ACB.
（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC的度数为 ，∠BQC的度数为 ； （2）连接PQ并延长交BC于点D，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的A度数.
求证：∠BOE=∠COD；
【题型训练】
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.
3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.
3
PQBDC例五、如图，BD、CE交于点M，OB平分∠ABD，OC平分∠ACE，OD平分∠ADB，OE平分∠AEC，
AEODMBACCDBEADEBFC发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；
②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
第 三 讲 作 业
1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).
(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°
2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).
(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠?的度数是( ). (A)75° (B)60° (C)65° (D)55° A
BDFCE
4．如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE平分∠CAF交DF于E点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).
(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个
5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).
(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°
4
6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ). (A)40° (B)60° (C)70° (D)80°
7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．
8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠
B= .
9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的
一条直角边重合，则∠1的度数为 .
10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB
上，BC与DE交于点M．若∠ADF=100°，则∠BMD为 ．
11．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠
AEC=______.
12．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平
分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，如此下去，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则∠A1= ；An= ．
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2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 11.2 与三角形有关的角度求和(无答案) 新人教版
