欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编 2021.01.01
2014年考研数学二真题与解析
时间：2021.01.01 创作：欧阳美 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1１．当x?0时，若ln??(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷
小，则?的可能取值范围是（ ）
1(,1)（A）(2,??) （B）(1,2) （C）2 （D）1(0,)2
1(1?cosx)~????ln(1?2x)~2x【详解】
112x?2，是?阶无穷小，
2?是????1??2?1???阶无穷小，由题意可知
所以?的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A）
y?x?sinx （B）y?x2?sinx（C）
y?x?sin1x （D）
y?x2?sin1x
y?x?sin1y1lim?1lim(y?x)?limsin?0x??xx，可知x??x且x??，
【详解】对于
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所以有斜渐近线y?x 应该选（C） 3．设函数上（ ）
（A）当
f(x)?g(x)
f'(x)?0f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]时，
f(x)?g(x) （B）当
f'(x)?0时，
（C）当
f(x)?g(x)
f??(x)?0时，
f(x)?g(x)（D）当
f??(x)?0时，
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x就是联接
(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f??(x)?0时，曲线是凹的，
也就是f(x)?g(x)，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则F(0)?F(1)?0，且
F\(x)?f\(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而
F(x)?F(0)?F(1)?0，即F(x)?f(x)?g(x)?0，也就是f(x)?g(x)，
应该选（D）
?x?t2?7,?y?t2?4t?1?4．曲线上对应于t?1的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
105010（Ｂ）100(Ｃ）1010 （Ｄ）510
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K?y\(1?y'2)3【详解】 曲线在点(x,f(x))处的曲率公式径
R?1K，曲率半
．
?22dxdydy2t?42d2y1t?2t,?2t?4??1????dt2tt，dx22tt3本题中dt，所以dxK?y\(1?y'2)3?11010，
对应于t?1的点处y'?3,y\??1，所以半径
R?1?1010K．
，曲率
应该选（C） 5．设函数
lim?f(x)?arctanx，若f(x)?xf'(?)，则x?0x2（ ）
?2（Ａ）1
21（Ｂ）3（Ｃ）2
1（Ｄ）3
【详解】注意（1）
1x?0时,arctanx?x?x3?o(x3)3．
f(x)?xf'(?)f'(x)?11?x2，（2）
由于
?2?．所以可知
f'(?)?1f(x)arctanx??2xx1??，
x?arctanx(arctanx)2，
2limx?0?x2?limx?0x?arxtanx?limx(arctanx)2x?0x?(x?13x)?o(x3)13?3． x36．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶
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