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第二部分 题型研究
题型五 几何探究题 类型二 平移变换问题
针对演练
1. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2.边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ (2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数解析式，并求出y的最大值．
第1题图
2. (2017攀枝花)如图①，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M(6，0)、N(0，23)，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上．将等边△ABC从图①的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、
F(如图②所示)，设△ABC平移的时间为t(s)．
(1)等边△ABC的边长为________；
(2)在运动过程中，当t＝________时，MN垂直平分AB；
(3)若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线
BA—AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC也随之停止平移．
①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似，求t的值；
②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF＝S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的坐标．
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第2题图 答案
1. 解：(1)四边形APQD为平行四边形； (2)OA＝OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO＝45°，
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°， ∴OB＝OQ，
在△AOB和△OPQ中， AB＝PQ??
?∠ABO＝∠PQO， ??BO＝QO
∴△AOB≌△POQ(SAS)， ∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ， ∴∠AOP＝∠BOQ＝90°， ∴OA⊥OP；
(3)过O作OE⊥BC于E.
①如解图①，当P点在B点右侧时，
第1题解图①
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x＋2
则BQ＝x＋2，OE＝，
2
1x＋2∴y＝×·x，
22
112
即y＝(x＋1)－，
44又∵0≤x≤2，
∴当x＝2时，y有最大值2; ②如解图②，当P点在B点左侧时， 2－x则BQ＝2－x，OE＝，
2
12－x∴y＝×·x，
22
112
即y＝－(x－1)＋，
44又∵0≤x≤2，
1
∴当x＝1时，y有最大值为；
4综上所述，当x＝2时，y有最大值为2.
第1题解图②
2. 解：(1)3，
【解法提示】∵点M(6，0)，N(0，23)，∴OM＝6，ON＝23，∴MN＝62＋（23）2＝43，∴
2024年中考数学复习第二部分题型研究题型五几何探究题类型二平移变换问题针对演练
