新《平面解析几何》专题解析
一、选择题
x2y21．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点,若
abcos?F1MF2?1,MF1?2MF2,则此双曲线渐近线方程为( ) 4A．y??3x 【答案】A 【解析】 【分析】
B．y??3x 3C．y??x D．y??2x
因为M为双曲线上一点,可得MF1?MF2?2a,在?F1MF2使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
22xyQ 双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点 ab?MF1?MF2?2a?? ?,解得:MF1?4a,MF2?2a ??MF1?2MF2在?F1MF2中,根据余弦定理可得:
222? F1F2?MF1?MF2?2MF1?MF2?cos?F1MF2
可得:(2c)?(4a)?(2a)?2?4a?2a?化简可得:c?2a
由双曲线性质可得:b2?c2?a2?4a2?a2?3a2 可得:b?3a
2221 4Q 双曲线渐近线方程为:y??bx a则双曲线渐近线方程为: y??3x 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
2．已知抛物线C：y2?12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，
FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则AF?（ ）
A．16 C．12 【答案】C 【解析】 【分析】
B．10 D．8
根据题意可知AD?BD，利用抛物线的定义，可得?ABD?30?，所以
|AF|?|BF|?2?6?12．
【详解】
解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD?BD． 由抛物线定义知|AD|?|AF|?1|AB|，所以?ABD?30?．因为F到准线的距离为6， 2所以|AF|?|BF|?2?6?12． 故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
3．已知直线y?k(x?3)(k?0)与抛物线C:y2?4x相交于A，B两点，F为C的焦点.若FA?5FB，则k等于（ ） A．
2 3B．
1 2C．
2 3D．
2 2【答案】B 【解析】 【分析】
?y?k(x?3)22222由?2，得kx?6k?4x?9k?0，??6k2?4?36k4?0，得?y?4x1k2?，x1x2?9①，再利用抛物线的定义根据FA?5FB，得到x1?5x2?4②，从
3????而求得x2?1，代入抛物线方程得到B(1,2)，再代入直线方程求解.
【详解】
设A?x1,y1?，B?x2,y2?，易知 x1?0，x2?0，y1?0，y2?0，
?y?k(x?3)222222kx?6k?4x?9k?0由?2，得，??6k?4?36k4?0，
?y?4x12所以k?，x1x2?9①.
3????因为FA?x1?pp?x1?1，FB?x2??x2?1，且FA?5FB， 22所以x1?5x2?4②. 由①②及x2?0得x2?1， 所以B(1,2)，代入y?k(x?3)，
1. 2故选：B 【点睛】
得k?本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
224．设抛物线C:y?2px?p?0?的焦点为F，抛物线C与圆C?:x?(y?)?25425于16A,B两点，且AB?5若过抛物线C的焦点的弦MN的长为8，则弦MN的中点到直线
x??2的距离为（ ）
A．2 【答案】B 【解析】 【分析】
2易得圆C?过原点，抛物线y?2px也过原点，联立圆和抛物线方程由AB求得交点坐
B．5 C．7 D．9
标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN的中点到直线x??2的距离. 【详解】
255?25?22圆:C?:x??y???,即为x?y?y,可得圆经过原点.
24?16?2抛物线y?2px也过原点. 设A?0,0?,B?m,n?,m?0. 由AB?5可得m2?n2?5， 又m?n?2225n 联立可解得n?2,m?1. 2
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