A. 106倍 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍
设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1、x2，根据题意得出
f?x1??140，f?x2??60，计算出x1和x2的值，可计算出
x1的值. x2【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1、x2， 由题意可得f?x1??10?lgx1?140，解得x1?102， ?121?10f?x2??10?lgx1x28?6?10x?10?60，解得，所以，， 2?12x1?102因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍， 故选：B.
【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.
10.若点N为点M在平面?上的正投影，则记N?f??M?.如图，在棱长为1的正方体
ABCD?A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为?，平面ABCD为?，点P是棱CC1上一动点
（与C、C1不重合）Q1?f???f??P???.给出下列三个结论： ?f??P???，Q2?f??
①线段PQ2长度的取值范围是?,?1?22???； 2? 6 / 23
②存在点P使得PQ1//平面?； ③存在点P使得PQ1^PQ2.
其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】
以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D?xyz，设点P的坐标为?0,1,a??0?a?1?，求出点Q1、Q2的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
【详解】取C1D的中点Q2，过点P在平面AB1C1D内作PE?C1D，再过点E在平面
B. ②③
C. ①③
D. ①②
CC1D1D内作EQ1?CD，垂足为点Q1.
在正方体ABCD?A1B1C1D1中， PE?平面CC1D1D，∴PE?AD，AD?平面CC1D1D，又QPE?C1D，ADIC1D?D，?PE?平面AB1C1D，即PE??，?f??P??E， 同理可证EQ1??，CQ??，则f???f??P????f??E??Q1，f???f??P????f??C??Q2. 以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D?xyz，设CP?a?0?a?1?，则P?0,1,a?，C?0,1,0?，E?0,??a?1a?1?,?，22??a?1??11?Q1?0,,0?，Q2?0,,?.
2???22? 7 / 23
21111?1?对于命题①，PQ2???a??，Q0?a?1，则??a??，则
2224?2?221?1??12?1?1???a????,，命题①正确； 0??a???，所以，PQ2???4?2??22?2?4?uuuur?11?CQ?0,?,?， 对于命题②，QCQ2??，则平面?的一个法向量为2?22??uuuur?a?1uuuuruuuur1?aa1?3a1?PQ1??0,,?a?，令CQ2?PQ1????0，解得a???0,1?，
24243??所以，存在点P使得PQ1//平面?，命题②正确；
uuuur?uuuuruuuur1?aa?2a?1?11?2a?PQ?0,?,对于命题③，??0， 2??，令PQ1?PQ2?22??42整理得4a2?3a?1?0，该方程无解，所以，不存在点P使得PQ1^PQ2，命题③错误. 故选：D.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11.在等差数列?an?中,若a2?5,a5?2,则a7? . 【答案】0 【解析】
8 / 23
试题分析：设等差数列?an?的公差为d，由已知得a5?a2?3d??3，所以d??1，所以
a7?a2?5d?5?5?0．
考点：等差数列的通项公式. 12.若复数z=【答案】2 【解析】 【分析】
利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z的值.
1+ii，则z?_________.
【详解】Qz?1?ii?1?i?22，因此，???ii?1?1?iz?1??1?2. ????ii2故答案为：2.
【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
x2y213.已知点A0,3，点B、C分别为双曲线2??1?a?0?的左、右顶点.若?ABCa3??为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】
根据?ABC为等边三角形求出a的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率. 【详解】由于?ABC为正三角形，则tan?ABC?OAOB?3?3，得a?1. ac2??2. a1所以，双曲线的半焦距为c?a2?3?2，因此，该双曲线的离心率为e?故答案为：2.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题. 14.已知函数f?x??x?
a在区间?1,4?上存在最小值，则实数a的取值范围是_________. x 9 / 23
【答案】?1,16? 【解析】 【分析】
由题意可知，函数y?f?x?在区间?1,4?上存在极小值，分a?0和a?0两种情况讨论，分析函数y?f?x?在区间?1,4?上的单调性，在a?0时求出函数y?f?x?的极值点
x?a，可得出1?a?4，解出即可.
aax2?a【详解】Qf?x??x?，f??x??1?2?. 2xxx当a?0时，对任意的x??1,4?，f??x??0，此时，函数y?f?x?在区间?1,4?上为增函数，则函数y?f?x?在区间?1,4?上没有最小值；
x2?a当a?0时，令f??x???0，可得x?a， 2x当0?x?a时，f??x??0，当x?a时，f??x??0，
a，由题意可得1?a?4，解得1?a?16.
此时，函数y?f?x?的极小值点为x?因此，实数a的取值范围是?1,16?. 故答案为：?1,16?.
【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.
15.用“五点法”作函数f?x??Asin??x???的图象时，列表如下：
x 1? 40 1 25 42 3? 211 4?x?? f?x?
? 22 ? 0 2? 0 0 ?2 10 / 23
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 (含答案解析)
