题4-1
j? j? j? O ?
O ?
O ?
(a) (b) (c) j? j? j? O ?
O ?
O ?
(d) (e) (f)
题4-2 解：
由开环传递函数容易得到n?3,m?0，三个极点分别为
p1?0,p2??4?2j,p3??4?2j，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为
(2k?1)??5?，渐近线与实轴交点为??A????,?,333下面确定根轨迹的分离点和汇合点
?(?p)??(?z)lil?1i?1nmn?m8??。
3D(s)?s(0.05s2?0.4s?1)?K0?0dK0??0.15s2?0.8s?1?0ds10?s1??2,s2??3?计算根轨迹的出射角与入射角
?p2???(??arctan())??p3???p2?63.4o确定根轨迹与虚轴的交点
24?2??63.4o
令s?j?,特征方程D(s)?j?(?0.05?2?0.4j??1)?K0?02?????25??0.4??K0?0???0????或??3K?0?0.05????0?K0?8??0??
j?54321?-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5
题4-5 解：
由开环传递函数容易得到n?3,m?0，三个极点分别为?p1?0,?p2??2,?p3??4，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为??(2k?1)??5?，渐近线与实轴?,?,333交点为??A??(?p)??(?z)lil?1i?1nmn?m??2。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
D(s)?s(s?2)(s?4)?K0?0?dK0??3s2?12s?8?0ds
确定根轨迹与虚轴的交点
令s?j?,特征方程D(s)?j?(j??2)(j??4)?K0?02323?s1??2?,s2??2?（舍去）2?????2233??6??K0?0???0???3??或?K?0???0?K0?48????8??0
j?54321?-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5
(2) 要产生阻尼振荡，需要??0且??0。当s1??2?23时，K0=3.08，所以，当33.1?K0?48时，系统呈阻尼振荡。
(3) 当K0?48时，系统产生持续等幅振荡，振荡频率为22 (4)
?=0.5?arccos??0.5????60o过s平面原点，与实轴负方向夹角为?60作射线，与根轨迹
o的交点即为主导极点。由图知，主导极点为?0.7?j1.2。又
pc1?pc2?pc3?p1?p2?p3??6?pc3??4.6所以
?4.6*(?4.6?2)*(?4.6?4)?K0?0?K0?7.176
题4-6 解：
(1)由开环传递函数容易得到n?3,m?1，三个极点和一个零点分别为
p1?0,p2??1,p3??3,z1??2，因此，有2条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为
?(2k?1)??3????,，渐近线与实轴交点为??A?l?1222n(?pl)??(?zi)i?1mn?m??1。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
D(s)?s(s?1)(s?3)?K0(s?2)?0?(s?1)(s?2)2?1?s??0.55j?
54321?-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5
(2)
?=0.5?arccos??0.5????60o过s平面原点，与实轴负方向夹角为?60作射线，与根轨迹的
o交点即为主导极点。由图知，主导极点为?0.7?j1.1。又
pc1?pc2?pc3?p1?p2?p3??4?pc3??2.6,
所以
?2.6*(?2.6?1)*(?2.6?3)?K0(?2.6?2)?0?K0?2.77
题4-9 解：
s3?s2?2.5s?Ts2?Ts?0系统的闭环传递函数，等效开环传递函数为T(s?1)?1?2?0s?s?2.5G1(s)?T(s?1)。 2s?s?2.5由等效开环传递函数容易得到n?2,m?1，两个极点和一个零点分别为
p1??1?j3?1?j3,p2?,z1??1，因此，有1条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为22??(2k?1)???。 1下面确定根轨迹的分离点和汇合点
D(s)?s2?s?2.5?T(s?1)?0dK0??0?s2?2s?1.5?0ds?s1??1?
1010,s2??1?（舍去）22计算根轨迹的出射角与入射角
?p2???arctan3??p3???p2?2??161.6o?161.6o
j?21?-2-1-1-2
题4-12 解：
由开环传递函数容易得到n?3,m?0，三个极点分别为p1?p2?p3??2，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为??(2k?1)??5??,?,，渐近线与实轴交点为333??A??(?p)??(?z)lil?1i?1nmn?m??2。
下面确定根轨迹的分离点和汇合点
自动控制理论（邹伯敏）第四章答案
