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第二章习题答案
2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。
解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间?t,t??t?从状态k转移到k+1（k>=0）的概率为??t?o??t?，?为状态k的出生率；
当有顾客服务完毕离去时，在时间?t,t??t?从状态k转移到k-1（k>=1）的概率为
??t?o??t?，?为状态k的死亡率；
在时间?t,t??t?系统发生跳转的概率为o??t?；
在时间?t,t??t?系统停留在状态k的概率为1???????t?o??t?； 故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。
2-3 对于一个概率分布?pk?，令g?X??p0?p1x?p2x?...??pkxk 称为分布
2k?0??pk?的母函数。 利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。
解：对于M/M/1
pk??k(1??) k?0
?g(z)?(1??)?(1??)?z?...?(1??)?E[k]?g'(z)/z?1??211??z
?1???k?1Var[k]??kpk?[?kpk]2?g''(z)/z?1?E[k]?(E[k])2?k?1?2?1???
2-4 两个随机变量X,Y取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y，证明：Z的母函数为X,Y母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。
S. . . . . ..
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证：设Z(!!!此处应为 X ???)的分布为：p0,p1,p2...，Y的分布为：q0,q1,q2... 由于
p?Z?k??p?X?Y?k???p?X?r,Y?k?r???p?X?r?p?Y?k?r???prqk?rr?0r?0r?0kkk?p0?p1x?p2x2?...??q0?q1x?q2x2?...??p0q0?p0q1?p1q0x?...??p0qk?p1qk?1?...?pkq0?xk?...??所以 g(Z)=g(X)g(Y)
对于两个独立的Poisson流，取任意一个固定的间隔T，根据Poisson过程性质，到达k个呼叫的概率分别为：
(?iT)k??iTpk(T)?e i=1,2 这两个分布独立
k!分布列的母函数分别为：
(?iT)kk??iTpk(T)x??xe?e?iTxe??iT?e?iT(x?1) ?k!k?0k?0?k?他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积?e所以 合并流为参数?1??2的 Poisson过程。
?1T(x?1)?2T(x?1)e?e(?1??2)T(x?1)
2-7 求k+1阶爱尔兰（Erlang）分布Ek?1的概率密度。
(?x)k??x?e x>=0 可以根据归纳法验证，Ek?1的概率密度为k!证明：
利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求Z?X?Y的分布，当X和Y相互独立时，且边缘密度函数分别为fX?x?和fY?y?，则fZ?z??????fX?x?fY?z?x?dx。
k?1阶Erlang分布是指k?1个彼此独立的参数为?的负指数分布的和。
用归纳法。
当k?1时，需证2阶Erlang分布的概率密度为x?e2??x
f1?t????e??t??x?e???t?x?dx???2e??tdx?t?2e??t
??tS. . . . . ..
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(?t)k??t?e 令n?k时成立，即fk?t??k!则当n?k?1时，
(?x)k??x???t?x?fk?1?t???fk?x?f?t?x?dx???e?edx????k!
?k?2??ttk(?t)k?1??t?e?xdx??e??k!?k?1?!ttS. . . . . ..
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第三章习题答案
3-1 证明：B(s,a)?aB(s?1,a)
s?aB(s?1,a)s?1kas?1asasaa?aB(s?1,a)(s?1)!k?0k!(s?1)!证：???ss!?B(s,a) s?1ss?1s?1kkkaas?aB(s?1,a)aaas?as????k!(s?1)!k?0k!(s?1)!k?0k!k?0
3-2 证明：（1）C(s,a)?sB(s,a),s?a[1?B(s,a)]s?a
（2）C(s,a)?（1）证：
11?(s?a)[aB(s?1,a)]?1B(0,a)?1，且s?a
ask!sB(s,a)s!k?0??ss?1ss?1kkkkas?a[1?B(s,a)]aaas?a?a?k!?k!?k!s?k!k?0k?0k?0k?0ka?asss!sa?s
s!s?1kas?(1?a/s)?ak!s!k?0as1?p0?C(s,a)s!1?a/s（2）证：
1??11?(s?a)[aB(s?1,a)]11?(s?a)ka?k?0s?1as?k!ass!s!s?1kk?0?(1?a/s)?ak!as?1a(s?1)!
as1?p0?C(s,a)s!1?a/s
3-3 在例3.3中，如果呼叫量分别增加10％，15％，20％，请计算呼损增加的
S. . . . . ..
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幅度。
话务量 s=30 增加的幅度
话务量 s=10 增加的幅度
3-4 有大小a＝10erl的呼叫量，如果中继线按照顺序使用，请计算前5条中继线每条通过的呼叫量。 解：
第一条线通过的呼叫量：a1=a[1-B(1,a)]=10×[1-0.9090]=0.910erl
第二条线通过的呼叫量：a2=a[B(1,a)-B(2,a)]=10×[0.9090-0.8197]=0.893erl 第三条线通过的呼叫量：a3=a[B(2,a)-B(3,a)]=10×[0.8197-0.7321]=0.876erl 第四条线通过的呼叫量：a4=a[B(3,a)-B(4,a)]=10×[0.7321-0.6467]=0.854erl 第五条线通过的呼叫量：a5=a[B(4,a)-B(5,a)]=10×[0.6467-0.5640]=0.827erl
3-6 对M/M/s等待制系统，如果s>a，等待时间为w，对任意t>0。 请证明：P{w?t}?C(s,a)e证：s>a
?(s???)ta=21.9 0.020 24.09 0.041 103% 25.185 0.054 170% 26.28 0.069 245% a=5.08 0.020 5.588 0.031 55% 5.842 0.038 90% 6.096 0.046 130% 。
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