较常用；
4：反函数y??(x)的图形与直接函数y?f(x)的图形是对称于y?x（证明很简单，大家自己看书）；
5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。
y?b【例13】 函数y?ax?b,y?x,y?x的反函数分别为：x?,x??y,x?y3或分
a231x?b别为y?,y??x,y?x3。
a1
§1、2 初等函数
一、幂函数
形如y?x?（?为常数）的函数叫做幂函数。 其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论： （1） 当?为非负整数时，定义域为(??,??)； （2） 当?为负整数时，定义域为(??,0)?(0,??)； （3） 当?为其它有理数时，要视情况而定。 【例1】 y?x的定义域为(??,??)；
13y?x,y?x 的定义域为?0,???； y?x?121234的定义域为(0,??)。
（4） 当?为无理数时，规定其定义域为(0,??)，其图形也很复杂，但不论?取何值，
图形总过（1，1）点，当?>0时，还过（0，0）点。
二、 指数函数与对数函数
1、 指数函数：形如y?ax(a?0,a?1)的函数称为指数函数，其定义域为(??,??)，其图形总在x轴上方，且过（0，1）点， （1） 当a?1时，y?ax是单调增加的； （2） 当0?a?1时，y?ax是单调减少的；
以后我们经常遇到这样一个指数函数y?ex,e的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特
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别地，y?ax与y?a?x关于y轴对称。
2、对数函数：指数函数y?ax的反函数，记为y?logax(a为常数，a?0,a?1),称为对数函数，其定义域为(0,??)，由前面反函数的概念知：y?ax的图形和y?logax的图形是关于y?x对称的，从此，不难得y?logax的图形，
y?logax的图形总在y轴右方，且过（1，0）点
（1） 当a?1时，y?logax单调递增，且在（0，1）为负，(1,??)上为正； （2） 当0?a?1时，y?logax单调递减，且在（0，1）为正，(1,??) 上为负； 特别当a取e时，函数记为y?lnx，称为自然对数函数。
三、 三角函数与反三角函数
1、 三角函数
三角函数主要是：
正弦函数：y?sinx余弦函数：y?cosx正切函数：y?tanx余切函数：y?cotxx?(??,??) x?(??,??)
x?n???2n?0,?1,?2,??
x?n?n?0,?1,?2,??
正弦函数和余弦函数均为周期为2?的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为?的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还
11有两个：正割y?secx?和余割y?cscx?，其图形在此不做讨论了。
cosxsinx2、 反三角函数：
反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：
反正弦函数：y?Arcsinx反余弦函数：y?Arccosx反正切函数：y?Arctanx
x?[?1,1] x?[?1,1] x?(??,??)
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反余切函数：y?Arccotxx?(??,??)
显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：
??将y?Arcsinx限制在[?,]上，得一单值函数，记为y?arcsinx，它就是所取主值函
22????数，[?,]叫做主值区间，显然??arcsinx?，
2222同理：将y?Arccosx限制在[0,?]上，得y?arccosx
将y?Arctanx限制在[???,]上，得y?arctanx
22将y?Arccotx限制在[0,?]上，得y?arccotx
从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的，arccosx和arccotx是单调递减的。
四、 复合函数和初等函数 设y?f(u)，定义域为D1，u??(x)，定义域为D2，值域为W2，且W2?D1，这样对于
?x?D2，由u??(x)可算出函数值u?W2?D1，所以u?D1，由y?f(u)又可算出其函数值y，因此对于?x?D2，有确定的值y与之对应，从而得一个以x为自变量，y为因变量的函数，我们称之为以y?f(u)为外函数，u??(x)为内函数复合成的复合函数，记为y?f(?(x))，其中u为中间变量。
【例1】 y?sin2x就是y?u2和u?sinx复合而成； y?coxs2就是y?cosu和u?x2复合而成。 注1：并非任何两函数都可以复合的，
例如：y?arcsinu和u?2?x2不能复合； y?u和u??1?x2也不能复合。 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：
y?tan(lnx)2就是y?tanu,u?v2,v?lnx复合成的。
3：在函数复合中，未必都有y?f(u)、u??(x)的形式，一般为y?f(x)和y?g(x)，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有y?f(x)和y?g(x)之分。
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2、初等函数
我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。
【例2】 y?1?x,y?1?2x,y?sin2x,y?tan(lnx)2,y?arctan数。
本教材讨论的主要都是初等函数。
五、 双曲函数和反双曲函数
ex?e?x双曲正弦：y?shx?2ex?e?x 双曲余弦：y?chx?2shxex?e?x?x 双曲正切：y?thx?chxe?e?xx?(??,??)
1?sinx等都是初等函
1?sinxx?(??,??)
x?(??,??)
反双曲正弦：y?arshx?ln(x?x2?1) 反双曲余弦：y?archx?ln(x?x2?1)x?(??,??) x?[1,??)
（多值函数y??ln(x?x2?1)取“+”号为主值）
11?xlnx?(?1,1) 21?x由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。
§1、3 数列的极限
所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排）。在数学中，我们可用这样的话来定义：
反双曲正切：y?arthx?定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为xn?f(n),n?1,2,3??，由于全体自然
数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：x1,x2,??xn??，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为?xn?或数列xn。数列中的每一数称为数列的项，第n项xn称为一般项或通项。
【例1】 书上用圆内接正6?2n?1边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列
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A1,A2,??An,?? （多边形的面积数列）
【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数
11111列：,2,3,??n,?? ，通项为n。
22222111【例3】1,,,????;1,?1,??,(?1)n?1,??;
23n34n?1,??; 2,4,6,??,2n,??;2,,,??,23n1n?1 都是数列，其通项分别为,(?1)n?1,2n,。
nn注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将xn依次在数轴上描出点的位置，
?1??1?我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，?n?,??是无限接近于0的；?2n??2??n??n?1?是无限增大的；(?1)n?1的项是在1与?1两点跳动的，不接近于某一常数；???n???无限接近常数1。
对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。
n?1?n?1?我们来观察?的情况。从图中不难发现随着n的增大，无限制地接近1，?nn??亦即n充分大时，
n?1n?1与1可以任意地接近，即?1可以任意地小，换言之，当n充nn分大时
1n?1，由?1可以小于预先给定的无论多么小的正数?。例如，取??100nn?111?n?1??1???n?100，即??从第nn100n??x101?101项开始，以后的项
1021031,x102?,??都满足不等式xn?1?，或者说，当n?100时，有1011021001n?11n?111?n?1?。同理，若取??，由?1??1???n?10000，即??10000n100nn10000?n?从第10001项开始，以后的项x10001?xn?1?1000210003,x10002?,??都满足不等式10001100021n?11，或说，当n?10000时，有。一般地，不论给定的正数??1?10000n10000
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高等数学（考前要点复习 上）
