第一 函数与极限
函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数 一、集合、常量与变量
1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C??等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记a?M（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记a?M或a?M（读a不属于M）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：
可用列举出其全体元素的方法来表示，如：A?{1,2,3,??,?(i)、若集合为有限集，就?鸡}；?10},B?{一只猫，一只狗，一只元素的规律，也可类似写出，如：A?{1，2，3，??}为全体自?(ii)、对无限集，若知道其?然数集，B?{2，4，6，??}为全体偶数集；?枚举法?(iii)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集?}，即：有此性质的必在A中，且A中的元素必?合可表示为：A?{xx所具有的某种性质?A?{xx3?5x2?7x?3?0}；B?{xx为我校的学生}；C?{(x,y)点?须有此性质。如：??(x,y)在D中}等。 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有x?A，必有x?B，就称A为B的子集，记为A?B,或B?A(读B包含A)。 显然：N?Z?Q?R.
若A?B,同时B?A,就称A、B相等,记为A=B。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
6：不含任何元素的集称为空集,记为?,如：{xx2?1?0,x?R}=?,{x:2x??1}=?,空集是任何集合的子集,即??A。
7：区间：所有大于a、小于b(a＜b)的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)={xa?x?b} 。
同理：[a,b]={xa?x?b}为闭区间，?a,b??{xa?x?b}和?a,b??{xa?x?b}分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。
以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。
对无穷区间有：???,b??{xx?b},(a,??)?{xa?x},(??,??)?{x???x???}?R，
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在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。
8：邻域：设a和?为两个实数，且??0.集合{xx?a??}称为点a的?邻域，记为
U(a,?),a为该邻域的中心，?为该邻域的半径，事实上，
U(a,?)?{xa???x?a??}?(a??,a??)。
同理：我们称U(a,?)?{x0?x?a??}为a的去心?邻域，或a的空心?邻域。 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。
2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。
【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。
注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。
2：常量一般用a,b,c??等字母表示，变量用x,y,u,t??等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：x?(a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。
二、函数的概念
【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为：S?x2，显然当x确定了，S也就确定了。 这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。
定义：设x和y为两个变量，，D为一个给定的数集，如果对每一个x?D，按照一定的
法则f变量y总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y?f(x).数集D称为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。
当x取数值x0?D时，依法则f的对应值称为函数y?f(x)在x?x0时的函数值。所有函数值组成的集合W?{yy?f(x),x?D}称为函数y?f(x)的值域。 注 1：函数通常还可用y?g(x),y?F(x),s?u(t)等表示。
2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。 【例1】 y?sinx的定义域为(??,??)，值域为[?1,1]。 【例2】 y?1?x的定义域为[?1,??)，值域为[0,??)。
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??x2??1【例3】 y???2??1?x0?x?1x?0?1?x?0x的定义域为(??,0)?(0,??)，从而显然x的定义域为[?1,1]，值域为[0,2]。
【例4】 f(x)?1的定义域为(??,??)，h(x)?f(x)?h(x)。
3、若对每一个x?D，只有唯一的一个y与之对应，就称函数y?f(x)为单值函数；若有不止一个y与之对应，就称为多值函数。如：x2?y2?1,x2?y2?1等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。
4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x在(0,1]上
1；当x在[?1,0)上取值时，其函数值为1?x。2（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！
取值，其函数值为x2；当x取0时，f(x)? 5、对D中任一固定的x，依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时，便得到一个点集
C?{(x,y)y?f(x),x?D}，我们称之为函数y?f(x)的图形。换言之，当x在D中变动时，点(x,y)的轨迹就是y?f(x)的图形。 【例5】 书上的几个例子。（同学们自己看） 【例6】 例3的图形如下图
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三、函数的几种特性
1、 函数的有界性：设y?f(x)在D上有定义，若对?x?D,?M?0，使得：f(x)?M，就称f(x)在D上有界，否则称为无界。
注：1、若对?x?D，?M，使得f(x)?M(f(x)?M)，就称f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界?f(x)在D上同时有上界和下界。
2、f(x)在D上无界也可这样说：对?M?0，总?x0?D，使得f(x0)?M。 【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。
2、函数的单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对?x1、x2?I，当x1?x2时总有：
（1）f(x1)?f(x2)，就称f(x)在I上单调递增，特别当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递增。
（2）f(x1)?f(x2)，就称f(x)在I上单调递减，特别当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时，就称f(x)在I上严格单调递减。
注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！
2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。 【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。
1【例9】 y?在(0,??)上是严格单减函数。
x【例10】 [例3]中的函数在定义域[?1,1]上不是单调的，但在[?1,0)上是严格单减的，在
(0,1]上是严格单增的。
3、函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集，即若x?D，有?x?D， (1) 若对?x?D，有f(?x)?f(x)恒成立，就称f(x)为偶函数。 (2) 若对?x?D，有f(?x)??f(x)恒成立，就称f(x)为奇函数。
【例11】 y?x2，y?cosx,y?x,是偶函数，y?x3，y?sinx，y?sgnx，是奇函数。 y?x2?x3，y?cosx?sinx是非奇非偶函数。
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【例11】﹡ y?lnx(?1?x2)是奇函数。
注：1、偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。
2、若f(x)是奇函数，且0?D，则必有f(0)?0。
3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。
4、周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果?l?0，使得对?x?D，有x?l?D，且f(x?l)?f(x)恒成立，就称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。
【例12】 y?sinx,y?cosx,y?tgx分别为周期为2?,2?,?的周期函数，y?x?[x]为周期为1的函数。
注1：若l为f(x)的周期，由定义知2l,3l,4l??也都是f(x)的周期，故周期函数有无穷
多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）
例如：y?sin2x?cos2x?1，设有最小正周期。
2：周期函数在一每个周期(a?kl,a?(k?1)l)（a为任意数，k为任意常数）上，有相
同的形状。
四、反函数
设f(x)的定义域为D，值域为W，因此，对?y?W，必?x?D，使得f(x)?y，这样的x可能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x??(y)，称之为函数y?f(x)的反函数，而f(x)叫做直接函数。 注1：反函数x??(y)的定义域为W，值域为D；
2：由上讨论知，即使y?f(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究；
3：在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x??(y)中的x与y对换一下，y?f(x)的反函数就变成y??(x)，事实上函数y??(x)与x??(y)是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母\?\没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若y?f(x)的反函数为x??(y)，那么y??(x)也是y?f(x)的反函数，且后者
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高等数学（考前要点复习 上）
