使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例5-1．已知f(0)?1，对于任意实数x、y，f(x?y)?f(x)?y?(2x?y?1)恒成立，则f(x)的解析式为 。
【答案】f(x)?x2?x?1
【解析】令x?0，则有f(?y)?1?y?(?y?1)?y2?y?1，再令?y?x，则f(x)?x2?x?1。
三、函数的值域
（一）直接法
1、观察法：通过观察如f(x)?ax?b?c，f(x)?ax2?b或f(x)?函数的解析式，应用不等式性质，可直接求得函数的值域。 例6-1．函数f(x)?3?2?3x的值域为( )。
A、[0,??) B、[1,??) C、[2,??) D、[3,??) 【答案】D
【解析】2?3x?0，故3?2?3x?3，∴f(x)值域为[3,??)，故选D。 注意：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
2、利用配方法：型如f(x)?ax2?bx?c(a?0)型或可转化为二次型的函数，用此种方法，注意自变量x的范围。
例6-2．函数f(x)?x2?2x的值域为( )。
A、[?1,??) B、[0,??) C、[1,??) D、[2,??) 【答案】A
【解析】f(x)?(x?1)2?1，∴f(x)值域为[?1,??)，故选A。
3、数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键。 例6-3．函数f(x)?|x?1|?(x?2)2的值域为( )。
A、[0,??) B、[1,??) C、[2,??) D、[3,??) 【答案】D
b等函数的定义域及性质，结合x2?a??2x?1,x??1?【解析】原函数化为f(x)??3,?1?x?2，
?2x?1,x?2?其图像如图，原函数值域为[3,??)，故选D。
注意：分段函数应注意函数的端点，利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想，是解决问题的重要方法。
例6-4．在实数的原有运算中定义新运算“?”如下：当a?b时，a?b?a；当a?b时，a?b?b2。设函数f(x)?(1?x)?x?(2?x)，x?[?2,2]，则f(x)的值域为( )。
A、[?4,?1] B、[?4,6] C、[?1,0] D、[0,6] 【答案】B
【解析】由题意知f(x)???x?2,?2?x?1?x?2,1?x?23，
即当?2?x?1时f(x)?[?4,?1]，即当1?x?2时f(x)?[?1,6]， ∴当x?[?2,2]，则f(x)的值域为[?4,6]，故选B。
（二）利用分离常数法： 1、型如f(x)?cx?dm时，可化简成f(x)?k?的格式，∵分母不为零，∴y?k。 ax?bax?bx?3的值域为( )。 x?1例7-1．函数f(x)?A、(??,?1]?[3,??) B、(??,?1)?(1,??) C、(??,1)?(1,??) D、[2,??) 【答案】C 【解析】f(x)?x?1?44，∴原函数的值域为(??,1)?(1,??)，故选C。 ?1?x?1x?1ax2?bx?cf2、型如f(x)?2的函数，可化简成f(x)?k?2的格式，再求值域。
dx?ex?fdx?ex?f1?x2例7-2．函数f(x)?的值域为( )。
1?x2A、[?1,0] B、(?1,1] C、[1,??) D、[2,??) 【答案】B
2?(1?x2)2221?x?1??1【解析】f(x)?，∵，∴0??2， 21?x21?x21?x∴原函数的值域为(?1,1]，故选B。
（三）利用基本不等式： 1、型如f(x)?b时，直接应用不等式性质。 x2?k例8-1．函数f(x)?4的值域为( )。 2x?2A、(??,2] B、(0,2] C、(2,4] D、(0,4] 【答案】B
【解析】∵x2?2?2，∴0?4?2，∴f(x)值域为(0,2]，故选B。 x2?22、(1)型如f(x)?x?11：①若x?0，则f(x)?2(当且仅当x?即当x?1时取“=”)， xx②若x?0，则f(x)??2(当且仅当x?1即x??1时取“=”)； x(2)型如f(x)?ax?bbb(a?0，b?0)：①若x?0，则f(x)?2ab(当且仅当ax?即x?时取“=”)，
axx②若x?0，则f(x)??2ab(当且仅当ax?bb即x??时取“=”)；
ax例8-2．函数f(x)?x?4的值域为( )。 xA、(??,?4]?[4,??) B、(??,?2]?[2,??) C、(??,?1]?[3,??) D、(??,0)?(0,??) 【答案】A
【解析】若x?0，f(x)?2x?44?4，若x?0，f(x)??2x???4， xx∴f(x)值域为(??,?4]?[4,??)，故选A。
x2?mx?nc3、型如f(x)?时，应先应用分离常数法化简成f(x)?a(x?b)??d的格式，再利用均值
x?bx?b不等式求值域。
x2?2x?2例8-3．函数f(x)?的值域为( )。
x?1A、(??,?4]?[4,??) B、(??,?2]?[2,??) C、(??,?1]?[3,??) D、(??,0)?(0,??) 【答案】B
(x?1)2?11【解析】f(x)?，∴值域为(??,?2]?[2,??)，故选B。 ?(x?1)?x?1x?14、型如f(x)?bbx时，应讨论时的值域，再讨论化简成型，最后f(x)f(x)?x?0x?0nx2?mx?nx??mx利用均值不等式求值域。 例8-4．函数f(x)?x的值域为( )。 2x?1A、(??,?2]?[2,??) B、(??,?1]?[1,??) C、(??,?]?[,??) D、[?,] 【答案】D
【解析】当x?0时，y?0，
当x?0时，f(x)?121211221x?1x，x?0时x?111?， ?2，0?12xx?xx?0时x?111?0， ??2，??2x?1xx∴f(x)的值域为[?,]，故选D。
（四）利用换元法：型如f(x)?ax?b?cx?d型，可用此法求其值域。 例9-1．函数f(x)?x?1?2x的值域为( )。
A、(??,?1]?[1,??) D、(??,?1] B、(??,] C、(??,?]?[,??) 【答案】B
11221212121?t21?t21【解析】法一(换元法)：令t?1?2x，则t?0且x?，则f(t)??t??(t?1)2?1，
222 ∵t?0，∴f(x)?11，∴f(x)的值域为(??,]，故选D。
221， 2法二(单调性法)：容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1?2x?0，即x?111 ∴f(x)?f()?，∴f(x)的值域为(??,]，故选B。
222（五）利用函数的单调性：若函数f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数，则f(a)、f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值、最大(小)值。
2x2?x?3例10-1．已知2?0，且满足x?y?1，则函数z?xy?3x的值域为( )。
3x?x?1A、[?5,1513] B、[?2,] C、(?1,1) D、(,??) 422【答案】A
【解析】∵3x2?x?1?0，则原式与2x2?x?3?0同解，解之得?1?x?3， 23又x?y?1，将y?1?x代入z?xy?3x中，得z??x2?4x??(x?2)2?4且x?[?1,]，
2函数z在区间[?1,]上连续且单调递增，故只需比较边界的大小， 当x??1时，z??5；当x?3231515时，z?，∴函数z的值域为[?5,]，故选A。
424a1x2?b1x?c1（六）判别式法：型如f(x)?(a1、a2不同时为零)及f(x)?ax?b?cx2?dx?e的函数求2a2x?b2x?c2值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程F(x,y)?0，由判别式??0，求得y的取值范围，即为原函数的值域。
x2?x例11-1．函数f(x)?2的值域为( )。
x?x?1A、(??,?2)?(2,??) B、(??,?1)?(1,??) C、[?,1) D、(1,??) 【答案】C
【解析】法一(配方法)：f(x)?1?∴0?13112332，又x?x?1?(x?)??， 2244x?x?111311，∴，∴值域为故选C。 f(x)[?,1)，???1??133x2?x?14x2?x?1x2?x法二(判别式法)：由y?f(x)?2，x?R，得(y?1)x2?(1?y)x?y?0，
x?x?1∵y?1时x??，∴y?1，
又∵x?R，∴??(1?y)2?4y(y?1)?0，∴??y?1， ∴f(x)值域为[?,1)，故选C。
（七）反函数法：
1、直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例12-1．函数f(x)?13133x?4值域为( )。 5x?6A、(??,)?(,??) B、(??,?1)?(1,??) C、(?1,1) D、(1,??) 【答案】B 【解析】设y?35356y?433x?4，则5xy?6y?3x?4?x?，分母不等于0，即y?。
3?5y5x?65即函数f(x)的值域为(??,)?(,??)。
注意：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
2、直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
3535ex?1例12-2．函数f(x)?x的值域为( )。
e?1A、(??,?1)?(1,??) B、(?1,1) C、(1,??) D、[2,??) 【答案】B
1?yex?1?0，∴?1?y?1，即函数f(x)的值域为(?1,1)，故选B。【解析】设y?x，由原式得ex? 1?ye?1
专题04 函数的定义域、解析式、值域(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
