专题04 函数的定义域、解析式、值域（知识梳理）
一、函数的定义域
定义域特指x的值。函数题的解答不能不考虑函数的定义域，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。
基本解题思路：①注意“定义域优先”；
②不要对解析式化简变形；
③在解不等式组时要细心、快而准，分类讨论要全面，取交集时需要借助数轴； ④要注意端点值或边界值能否取到； ⑤定义域要用集合或者区间的形式写出； ⑥换元法要注意新变量的取值范围；
⑦注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。
（一）单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。 1、基本函数定义域的要求： (1)分式函数，分母不为0；
(2)偶次根式函数的被开方数为非负数； (不要忘记等号) (3)一次函数、二次函数的定义域为R；
(4)x0中的底数不等于0； (x?n中的底数也不等于0) (5)指数函数y?ax定义域为R，对数函数y?logax定义域为x?0； (注意a?0且a?1) (6)y?sinx、y?cosx的定义域为R；
?y?tanx的定义域为{x|x?k??,k?z}；y?cotx的定义域为{x|x?k?,k?z}；
2(7)实际问题应考虑实际限制。
2、剥洋葱原理?一层一层?交集(同时成立) ?最后把求定义域转化成解不等式。 例1-1．函数f(x)?1?2x?1的定义域为( )。 x?3A、(??,?3)?(?3,0] B、(??,?3)?(?3,1] C、(?3,0] D、(?3,1] 【答案】C
?1?2x?0【解析】?，解得?3?x?0，故选C。
?x?3?0例1-2．函数f(x)?ln【答案】(0,1] 【解析】
x?1?1?x2的定义域为 。 xx?11?1??0且x?0且1?x2?0解得0?x?1。 xx（二）单一函数与复合函数的相互转换。 1、单一到复合，类比联想，整体代入。
由y?f(x)的定义域为A求y?f[g(x)]的定义域实质是g(x)?A，求x的取值范围。 例2-1．函数f(x)的定义域为(?1,0)，则函数f(2x?1)的定义域为 。
【答案】(?1,?)
【解析】?1?2x?1?0，则?1?x??121。 22、复合到单一，方法：换元法。 规避易错点：新变量的取值范围。
由y?f[g(x)]的定义域A，求y?f(x)的定义域，实质是x?A，求g(x)的取值范围，此取值范围就是y?f(x)的定义域。实质就是换元法。
例2-2．已知函数f(2x)的定义域是[?1,1]，则函数f(x)的定义域为 。
【答案】[,2]
【解析】设2x?t，∵?1?x?1，∴3、复合到复合，找到“桥梁”。
由y?f[g(x)]的定义域A，求y?f[h(x)]的定义域B，须先求y?f(x)的定义域C。 例2-3．若f(x?1)的定义域是[?,2]，则函数f(x2)的定义域为 。
【答案】[?3,?1211?t?2，故f(x)的定义域为[,2]。 221222]?[,3] 22【解析】先求f(x)的定义域，设x?1?t，∵?再求f(x2)的定义域，
（三）函数定义域逆向性问题。
111?x?2，∴?t?3，即f(x)的定义域为[,3]， 222221或?x?3。 ?x2?3，解得?3?x??222例3-1．若函数f(x)?x2?ax?1的定义域为R，则实数a取值范围是( )。
A、[?2,2] B、(2,??) C、(??,2) D、(?2,2) 【答案】A
【解析】∵f(x)?x2?ax?1的定义域为R，∴x2?ax?1?0在R上恒成立，
即方程x2?ax?1?0至多有一个解，∴??a2?4?0，解得?2?a?2， 则实数a取值范围是[?2,2]，故选A。
例3-2．已知函数f(x)?3x?1的定义域是R，则实数a的取值范围是( )。
ax2?ax?3311A、(?12,0) B、(?12,0] C、(,??) D、(??,]
33【答案】B 【解析】∵f(x)?3x?1的定义域为R，∴只需分母不为0即可，
ax2?ax?33∴a?0或??a?0???a?4a?(?3)?02，可得?12?a?0，故选B。
二、函数的解析式
（一）已知函数类型，可设参，用待定系数法求解析式。
若已知函数形式(一次函数y?kx?b，k?0；二次函数y?ax2?bx?c，a?0；反比例函数y?
a，x
a?0；指数函数y?ax，a?0且a?1；y?logax，a?0且a?1；幂函数y?xn)，可用待定系数法求
解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式。
已知函数图象，也用待定系数法求解析式。如果图象是分段的，要用分段函数表示。 例4-1．已知函数f(x)?(a2?3a?3)?ax是指数函数，则f(2)?( )。
A、0 B、2 C、4 D、a2
【答案】C
【解析】∵f(x)是指数函数，∴a2?3a?3?1，即a2?3a?2?0?(a?2)?(a?1)?0，
解得a?2(可取)或a?1(舍)，∴f(x)?2x，∴f(2)?4，故选C。
[多选]例4-2．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，则f(x)的解析式为( )。
A、f(x)??2x?3 B、f(x)??2x?1 C、f(x)?2x?1 D、f(x)?2x?3 【答案】AC
【解析】设f(x)?kx?b(k?0)，则f[f(x)]?k?f(x)?b?k?(kx?b)?b?k2x?kb?b，
?k2?4?k?2?k??2 ∴?，解得?或?，∴f(x)??2x?3或f(x)?2x?1，故选AC。
b??3b?1???kb?b?3例4-3．已知二次函数f(x)满足f(0)?1，且f(x?1)?f(x)?2x，则f(x)的解析式为( )。
A、f(x)?x2?x?1 B、f(x)?x2?x?1 C、f(x)?x2?x?1 D、f(x)?x2?x?1 【答案】B
【解析】设f(x)?ax2?bx?c，a?0，
∵f(0)?1，则c?1，又∵f(x?1)?f(x)?2x，
令x?0，则f(1)?f(0)?0，∴f(1)?1，即a?b?c?1，a?b?0， 令x?1，则f(2)?f(1)?2，f(2)?3，即4a?2b?c?3，2a?b?1， ∴a?1，b??1，c?1，f(x)?x2?x?1，故选B。
（二）方程组法求函数解析式。
若出现f(x)与f()的关系式、f(x)与f(?x)的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可构造另一个等式，通过解方程组求解。
1x1(1)互为倒数：f(x)?f()?g(x)；
x(2)互为相反数：f(x)?f(?x)?g(x)或F(x)?f(x)?g(x)(f(x)为奇函数，g(x)为偶函数)。 例5-1．已知f(x)?2f(?x)?3x?2，则f(x)的解析式为( )。
A、f(x)??3x?【答案】B
2222 B、f(x)??3x? C、f(x)?3x? D、f(x)?3x? 3333?f(x)?2f(?x)?3x?22【解析】联立?，解方程组得f(x)??3x?，故选A。
3?f(?x)?2f(x)??3x?21例5-2．已知f(x)?2f()?3x，则f(x)的解析式为 。
x【答案】f(x)?2?x，(x?0) x1?f(x)?2f()?3x?2?x【解析】联立?，解方程组得f(x)??x，(x?0)。
x?f(1)?2f(x)?3?x?x例5-3．设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)?g(x)?1，求f(x)与g(x)的解析式。 x?1【解析】f(?x)?f(x)，g(?x)??g(x)，∴f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)? 与原题中方程联立，解得f(x)?1， ?x?11(x??1、x?0、x?1)， 2x?1g(x)?1(x??1、x?0、x?1)。 x2?x（三）已知f(x)求复合函数f[g(x)]，或已知复合函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法、配凑法。
即令g(x)?t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)，注意新变量的取值范围。
例6-1．已知f(?1)?2x，则f(x)的解析式为 。
22x?12x【答案】f(x)? (x??1)
2222【解析】令t??1，则x?，∴f(t)?2t?1，即f(x)?2x?1 (x??1)。
xt?1例6-2．已知f(x?1)?x?2x，则f(x?1)的解析式为 。
【答案】f(x?1)?x2?2x(x?0)
【解析】令t?x?1，则t?1，x?(t?1)2，∴f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1，
∴f(x)?x2?1(x?1)，∴f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x(x?0)。
（四）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 1、关于点对称：A(x1,y1)关于点B(x0,y0)对称的A?(2x0?x1,2y0?y1)； 特殊点：点(x1,y1)关于原点(0,0)对称的点A?(?x1,?y1)?奇函数。 2、关于线对称
(1)特殊线：A(x1,y1)关于x轴对称A?(x1,?y1)；
关于y轴对称A?(?x1,y1)?偶函数； 关于y?x对称A?(y1,x1)?反函数； 关于y??x对称A?(?y1,?x1)。
(2)一般直线：构建等量关系抓两个关键点：垂直和中点。
点A(x1,y1)关于直线ax?by?c?0对称的点A?(x2,y2)，则例7-1．函数f(x)关于原点对称且当x?0时，f(x)?x2?【答案】f(x?1)?x2?2x(x?0) 【解析】∵x?0时f(?x)?x2?y2?y1ax?xy?y ??；a21?b21?c?0。
x2?x1b221，求函数在x?0时的解析式。 x11??f(x)，∴f(x)??x2?。 xx例7-2．与方程y?e2x?2ex?1(x?0)的曲线关于直线y?x对称的曲线的方程是( )。
A、y?ln(1?x)(x?0) B、y?ln(1?x)(x?0) C、y??ln(1?x)(x?0) D、y??ln(1?x)(x?0) 【答案】A
【解析】y?(ex?1)2，x?0，∴ex?1，∴y?0，即ex?1?∴x?ln(1?y，
y)?y?ln(1?x)(x?0)，故选A。
（五）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，
专题04 函数的定义域、解析式、值域(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
