§1.1 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 考情考向分析 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．题型以选择题为主，低档难度.
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法
集合 符号
2.集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A?B； (2)真子集：若A?B，且A≠B，则AB；
自然数集 N 正整数集 N*(或N＋) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B；
(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算
表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 全集U中不属于A的元素补集 组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x?A} ?UA 概念方法微思考
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示 A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4)若P∩M＝P∩N＝A，则A?(M∩N)．( √ ) 题组二 教材改编
2．若集合A＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则下列结论正确的是( )
A．{a}?A C．{a}∈A 答案 D
B．a?A D．a?A
3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个． 答案 4
解析 因为(A∪B)?B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．
4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(?UA)∪B＝________. 答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 因为?UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(?UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 题组三 易错自纠
5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________. 答案 0或3
解析 因为B?A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 答案 0或1或－1
解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N?M， ∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
集合的含义与表示
1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 B．3 C．6 D．9 答案 C
解析 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1； 当x＝2时，y＝0,1,2.
故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．
?3?
2．已知集合A＝?x∈Z?2－x∈Z
???
??
?，则集合A中的元素个数为( ) ??
A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C 解析 因为
3
∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，2－x
－1，故集合A中的元素个数为4.
3．给出下列四个命题： ①{(x，y)|x＝1或y＝2}＝{1,2}；
②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}；
③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；
④设2 021∈{x，x2，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④
解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1和y＝2
两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k＋1,3k－2(k∈Z)都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15.④中x＝－2 021或x＝－2 021，满足条件的所有x组成的集合为{－2 021，－2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0 解析 由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}． 又∵A?C?B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴满足条件的集合C有4个． (2)已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x 解析 由x2－2 021x＋2 020<0，解得1 又B＝{x|x 可得a≥2 020. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( ) A．AB C．A?B 答案 B 解析 由题意知A＝{x|y＝所以A＝{x|－1≤x≤1}． 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故选B. (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，则实数m的取值范围为________． 5 答案 m<－2或0≤m≤ 2解析 A＝{x|－1≤x≤6}． ∵B?A，∴B＝?或B≠?. 当B＝?时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意． 1－x2}， B．BA D．B＝A m－1≤2m＋1，?? 当B≠?时，?m－1≥－1， ??2m＋1≤6.5 解得0≤m≤. 25 得m<－2或0≤m≤. 2 集合的基本运算 命题点1 集合的运算 例2 (1)(2020·广西桂林、崇左联合模拟)已知集合N＝{x|x2－x－2≤0}，M＝{－2,0,1}，则M∩N等于( ) A．[－1,2] C．{－2,0,1} 答案 D 解析 ∵N＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}， ∴M∩N＝{0,1}． (2)(2020·广西柳州模拟)已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，B＝{0,1,2,3}，则A∩B等于( ) A．{1} B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3} 答案 C 解析 A＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}， 又B＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{2,3}． B．[－2,1] D．{0,1} 命题点2 利用集合的运算求参数 例3 (1)(2020·成都模拟)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( ) A．(0,3) C．(0,1) 答案 B 解析 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0 (2)已知集合A＝{x|x 解析 集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1 B．(0,1)∪(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 可知a≥2. 本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不 变，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，1] 解析 ∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1 可得a≤1. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅲ)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B等于( ) A．{－1,0,1} C．{－1,1} 答案 A B．{0,1} D．{0,1,2} 解析 集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}． (2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x 解析 在数轴上画出集合A，B(如图)， B．a>2 D．a>－1 观察可知a>－1. 以集合为背景的信息迁移是近几年高考的热点题型，解决这类问题首先要理解题意，准 确把握问题本质，回归到数学问题，其次要用好集合的性质，解决信息迁移后的集合问题． ??－1，x∈M， 例1 对于集合M，定义函数fM(x)＝?对于两个集合A，B，定义集合A△B＝ ?1，x?M.? {x| fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________． 答案 {1,6,10,12} 解析 要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x?B}∪{x|x∈B且x?A}＝{1,6,10,12}，所以A△B＝{1,6,10,12}． 例2 (2019·湖北武汉部分重点中学联考)对于a，b∈N，规定a*b＝ ??a＋b，a与b的奇偶性相同， ?集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N*}，则M中元素的个数为?a×b，a与b的奇偶性不同，? ( ) A．40 B．41 C．50 D．51 答案 B 解析 由题意知a*b＝36，a，b∈N*.若a和b的奇偶性相同，则a＋b＝36，满足此条件的有1＋35,2＋34,3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a，b)有35个；若a和b的奇偶性不同，则a×b＝36，满足此条件的有1×36,3×12,4×9，共3组，此时点(a，b)有6个．所以M中元素的个数为41.故选B. 例3 已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( ) A．15 B．16 C．20 D．21 答案 D 解析 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21. 1．(2018·全国Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( ) A．{0} C．{1,2} 答案 C 解析 ∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}． 2．(2019·全国Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于( ) A．(－∞，1) C．(－3，－1) 答案 A 解析 因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A. B．(－2,1) D．(3，＋∞) B．{1} D．{0,1,2} 3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 B．8 C．5 D．4 答案 A 解析 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A. 4．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( ) A．7个 B．8个 C．15个 D．16个 答案 A 解析 ∵集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}＝{x∈N*|－1 ??1? ??，则下列结论中正确的是( ) <25．设集合M＝{－1,1}，N＝x?x?? A．NM C．N∩M＝? 答案 B 解析 由题意得， B．MN D．M∪N＝R ??1???1? ????<2x<0或x>集合N＝x?x＝x2?， ???? 所以MN.故选B. 6．设集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{0,1}，则?AB等于( ) A．{－3，－2，－1} C．{－1,0,1,2,3} 答案 B 解析 由题意可知A＝{－1,0,1,2,3}，则?AB＝{－1,2,3}．故选B. 7．已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2 解析 由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(?UA)∩B＝{3,5}．故选A. B．{2,3,5} D．{3,4,5} B．{－1,2,3} D．{0,1} 8.已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B的子集个数为( ) A.3 B.4 C.7 D.8 答案 D 解析 ∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0,1,2}，B＝{x|－1≤x≤2}. ∴A∩B＝{0,1,2}，∴A∩B的子集个数为23＝8. 9．(2017·全国Ⅱ改编)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________. 答案 {1,3} 解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B. ∴1－4＋m＝0，即m＝3. ∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}． 10.(2020·广西钦州综合能力测试)已知集合A＝(0,2)，B＝{y|y＝ex＋1，x∈R}，则A∩B＝________. 答案 (1,2) 解析 ∵y＝ex＋1>1，∴B＝{y|y>1}， 又A＝(0,2)，∴A∩B＝(1,2). 11．设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________． 答案 －2或1 解析 ∵集合 A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，A∩B＝{－1,2}，∴ ??a＋1＝－1， 或? 2??a－2＝2 ??a＋1＝2， 解得a＝－2或a＝1. ? 2??a－2＝－1， 经检验，a＝－2和a＝1均满足题意． 12.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，则实数c的取值范围是________. 答案 [1，＋∞) 解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A?B，画出数轴，如图所示，得c≥1. 13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________. 答案 －1 1 解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5 则B＝{x|m 14．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________． 答案 (－∞，2] 解析 当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1 ?6－x?? 15.已知A＝?x?y＝log3 x－2??? ?? ?，B＝{x|x2－2x＋1－a2≤0}(a>0)，若A∪B＝B，则实数a的取?? 值范围是______. 答案 [5，＋∞) 6－x 解析 由>0可得(x－2)(x－6)<0， x－2∴2 x2－2x＋1－a2≤0可化为[x－(1－a)][x－(1＋a)]≤0. 又a>0，∴B＝[1－a,1＋a]. 由A∪B＝B，得A?B， ??2≥1－a，∴?∴a≥5. ?6≤1＋a，? ∴实数a的取值范围是[5，＋∞). 16．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集 ?11? 合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝?－2，2，1?，若M与N“相交”，则a＝________. ?? 答案 1 11??111 －，??，由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1. 解析 M＝ aa??a2a ?11? 当a＝4时，M＝?－2，2?，此时M?N，不合题意； ? ? 当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意．
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第一章 1.1集合
