北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试 （理工类）
2018．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知全集为实数集R，集合A?{xx2?3x?0}，B?{x2x?1}，则(RA)B?
A．(??，0][3,??) B．(0,1] C．?3，??) ??? D．[1，2．复数z满足(1+i)z?i，则在复平面内复数z所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．直线l的参数方程为
x=?3t,（t为参数），则l的倾斜角大小为
y1+3t A．
?????? B． C． D． 63364．已知a,b为非零向量，则“a?b>0”是“a与b夹角为锐角”的
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为
A．18 B．24 C．48 D．96 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于
A．
1
23 B．
341 正视图
1 1 侧视图
11 C． D．
32俯视图
7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,0),B(1,2)，动点P满足OP??OA??OB,其中?,??[0,1],????[1,2]，则所有点P构成的图形面积为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 23
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．执行如图所示的程序框图，若输入m?5，则输出k的值为________．
10．若三个点(?2,1),(?2,3),(2,?1)中恰有两个点在双曲线
开始 输入C:
x2?y?1(a?0)上，则双曲线C的渐近线方程为_____________． 2a2k=0 m=2m?1 k=k+1 m>50 是 否 ?11．函数f(x)?Asin(?x??)（A?0,??0,??）
2的部分图象如图所示，则?= ；函数f(x)在区间[,??上的零点为 ．
?
3
输出k 结束
12．已知点A(?2,0),B(0,2)，若点M是圆x?y?2x?2y?0上的动点，则?ABM面积的最小值为 ．
13．等比数列{an}满足如下条件：①a1?0；②数列{an}的前n项和Sn?1． 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ．
22?(x+1)2?a， x?0，??14．已知a?R，函数f(x)??sinπx当x?0时，函数f(x)的最大值
2, x?0.?x?1??2?2?x?1是 ；若函数f(x)的图象上有且只有两对点关于y轴对称，则a的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)
在?ABC中，已知sinA?5，b?2acosA． 5（Ⅰ）若ac?5，求?ABC的面积； （Ⅱ）若B为锐角，求sinC的值． 16．(本小题满分14分)
如图1，在矩形ABCD中，AB?2，BC?4，E为AD的中点，O为BE中点．将
?ABE沿BE折起到A?BE，使得平面A?BE?平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A?O?CD；
（Ⅱ）求直线A?C与平面A?DE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段A?C上是否存在点P，使得OP//平面A?DE 若存在，求出
存在，请说明理由．
图1
17．(本小题满分13分)
某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个
图2
A?P的值；若不?AC A? D
O
C
B C E
D
A
O
B
E
科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 男生 选考方案待确定的有6人 选考方案确定的有10人 女生 选考方案待确定的有6人 5 4 1 0 0 1 （Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人
（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机
选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率； （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，
设随机变量???4 8 3 9 0 6 1 3 0 3 0 1 选考方案确定情况 选考方案确定的有8人 物理 化学 生物 历史 地理 政治 8 8 4 2 1 1 ?1,?2,2名男生选考方案相同，2名男生选考方案不同，
求?的分布列及数学期望E?．
18． (本小题满分13分)
已知函数
f(x)?lnx?1?ax． x（Ⅰ）当a?2时，（ⅰ）求曲线y?（ⅱ）求函数
（Ⅱ）若1?a?2，求证：
f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
f(x)的单调区间；
f(x)??1．
19． (本小题满分14分)
22x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点(1,)．
22ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A,B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的
斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E,F两点且均不与点A,B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为?1，直线BF与x轴所成的锐角为?2，判断?1与?2大小关系并加
以证明． 20． (本小题满分13分)
已知集合X?{x1,x2,有8个元素的子集．
（Ⅰ）当X?{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}时，
设xi,xj?X(1?i,j?8)，
（i）写出方程xi?xj?2的解(xi,xj)；
（ii）若方程xi?xj?k(k?0)至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值； （Ⅱ）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程xi?xj?k(1?i,j?8)至少有三组
不同的解．
,x8}是集合S?{2001,2002,2003,,2016,2017}的一个含
2018北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题理科
