集合与函数概念单元测试（含答案）
一．选择题（共8小题）
1．（2020?青羊区校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈Z}，集合B＝{x|x＞0}，则集合?ZA∩B的真子集个数为（ ） A．3
B．4
C．7
D．8
解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞3，x∈Z}，B＝{x|x＞0}，∴?ZA＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴?ZA∩B＝{1，2，3}，∴?ZA∩B的真子集个数为23﹣1＝7．故选：C． 2．（2020?江西模拟）全集U＝R，集合??={??|示的集合为（ ）
??
≤0}，集合B＝|x|log2（x﹣1）＞2|，图中阴影部分所表???4
A．（﹣∞，0]∪[4，5] C．（﹣∞，0）∪[4，5]
解：∵集合A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x＞5}，
由Venn图可知阴影部分对应的集合为?U（A∪B），其中A∪B＝{x|0≤x＜4或x＞5}， 则?U（A∪B）＝（﹣∞，0）∪[4，5]；故选：C．
3．（2020春?新市区校级期中）在下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．f（x）＝2x+1，x∈N，g（x）＝2x﹣1，x∈N B．f（x）=√???1?√??+1，g（x）=√??2?1 C．f（x）=
(???1)(??+3)
，g（x）＝x+3
???1B．（﹣∞，0）∪（4，5] D．（﹣∞，4]∪（5，+∞）
D．f（x）＝|x|，g（x）=√??2
解：A．两个函数的定义域都为N，但两个函数的解析式不相同，即对应法则不一样，故不表示同一函数； B．f（x）的定义域为{x|x≥1}，g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；
C．f（x）的定义域为{x|x≠1}，g（x）的定义域为R，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数； D．f（x）的定义域为R，g（x）＝|x|的定义域为R，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故表示同一函数．故选：D．
4．（2020?兴宁区校级模拟）已知函数f（x）＝lg（3x+是（ ） A．（﹣4，+∞） 解：由题意可知3x+因为3x+
B．[﹣4，+∞）
4
??+m）的值域是全体实数R，则实数m的取值范围3C．（﹣∞，﹣4） D．（﹣∞，﹣4]
4
??+m能取遍所有正实数， 3
4
??+m≥m+4，则m+4≤0，即m≤﹣4．故选：D． 3
??
2+1
5．（2020?宁波二模）函数??=???????????的部分图象大致为（ ）
2?1
A． B．
C． D．
解：∵定义域为{x|x≠0}， 设f（x）＝cosx?
2??+12???1
，则f（﹣x）＝cos（﹣x）?
2???+12????1
=cosx?
1+2??1?2??
=?cosx?
2??+12???1
=?f（x）；
故函数为奇函数，图象关于原点中心对称；故舍去C，D；
当x∈（0，）时，cosx＞0，2x+1＞0，2x﹣1＞0，故y＞0，故A正确．故选：A．
2??
6．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且恒有f[f（x）﹣lnx]＝1，若?x＞0，f（x）≤ax﹣1，则a的最小值为（ ） A．0
B．
??1
C．1 D．e
解：f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，恒有f[f（x）﹣lnx]＝1， 所以f（x）﹣lnx为定值，设f（x）﹣lnx＝t，则f（t）＝1， 所以f（t）＝lnt+t，∴lnt+t＝1，∴t＝1．
因为?x＞0，f（x）≤ax﹣1，即lnx+1≤ax﹣1，∴??≥
??????+2
， ??1
????(??????+2)?1?????????????+2
令?(??)=??，则?′(??)=??=，
??2??2令?′(??)=0，得??=??，令?′(??)＞0，得0＜??＜??，令?′(??)＜0，得??＞??．
????1+211
∴?(??)在??=??处取得最大值，?(??)=??=??，∴a≥e．故选：D． 1??111
7．（2020?日照模拟）已知函数f（x）＝x2+（1﹣m）x﹣m，若f（f（x））≥0恒成立，则实数m的范围是（ ） A．[﹣3，﹣3+2√2] B．[﹣1，﹣3+2√2]
C．[﹣3，1]
D．[﹣3+2√2，1]
解：函数f（x）＝x2+（1﹣m）x﹣m＝（x﹣m）（x+1），
当m＞﹣1时，f（f（x））≥0恒成立等价为f（x）≥m或f（x）≤﹣1恒成立， 即x2+（1﹣m）x﹣m≥m或x2+（1﹣m）x﹣m≤﹣1（不合题意，舍去）恒成立， 即{
??＞?1
，解得﹣1＜m≤3+2√2；
△=(1???)2+8??≤0
当m＝﹣1时，恒成立，符合题意；
当m＜﹣1时，f（f（x））≥0等价为f（x）≤m（不符题意，舍去）或f（x）≥﹣1恒成立， 等价于{
??＜?1
，解得﹣3≤m＜﹣1，
(1???)2?4(1???)≤0
综上可得，m的范围是[﹣3，﹣3+2√2]，故选：A．
8．（2020?黄山二模）已知函数f（x）的定义域为D，满足：①对任意x∈D，都有f（x）+f（﹣x）＝0，②对任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有数”的是（ ） A．f（x）＝tanx C．??(??)=????
2???
2+????(??1)???(??2)??1???2
＞0，则称函数f（x）为“成功函数“，下列函数是“成功函
B．f（x）＝x+sinx D．f（x）＝ex﹣ex
﹣
解：由①对任意x∈D，都有f（x）+f（﹣x）＝0，得f（﹣x）＝﹣f（x）即函数为奇函数； ②对任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有
??(??1)???(??2)??1???2
＞0，即函数单调递增，
A：y＝tanx在定义域内不单调，不符合题意；
B：由f（x）＝x+sinx可得f（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣f（x）且由于f′（x）＝1+cosx≥0恒成立，即f（x）在R上单调递增，符合题意； C：结合复合函数单调性可知，y＝ln
﹣
2???2+??
在（﹣2，2）内单调递减，不符合题意；
D：y＝ex﹣ex在定义域R上单调递减，不符合题意．故选：B． 二．多选题（共4小题）
9．（2019秋?启东市期末）已知全集U＝R，集合A，B满足A?B，则下列选项正确的有（ ） A．A∩B＝B
B．A∪B＝B
C．（?UA）∩B＝?
D．A∩（?UB）＝?
解：∵A?B，∴A∩B＝A，A∪B＝B，（?UA）∩B＝≠?，A∩（?UB）＝?，故选：BD．
10．（2019秋?清远期末）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（﹣x）＝0，且当x≥0时，f（x）＝
ex+x﹣1．若f（sinx）≥f（k（2+sinx））在x∈R上恒成立，则k的可能取值为（ ） A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣2
解：定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（﹣x）＝0，f（x）为奇函数，
当x≥0时，f（x）＝ex+x﹣1，显然f（x）在（0，+∞）递增，所以f（x）在R上递增， f（sinx）≥f（k（2+sinx））在x∈R上恒成立，可得sinx≥k（2+sinx），（1﹣k）sinx≥2k， 当k＝1时，0≥2，不成立，故A错误；
当k＝0时，sinx≥0成立，不恒成立，故B错误；
当k＝﹣1时，2sinx≥﹣2，即sinx≥﹣1，恒成立，故C正确；
当k＝﹣2时，3sinx≥﹣4，即sinx≥?恒成立，故D正确；故选：CD．
11．（2020?海口模拟）“已知函数f（x）＝x2﹣cosx，对于[?2，2]上的任意x1，x2，若_______，则必有f（x1）＞f（x2）恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是（ ） A．|x1|＞x2
B．x1+x2＞0
C．x12＞x22
D．
??1??2
??
??
4
3＞1
解：函数f（x）＝x2﹣cosx，导数为f′（x）＝2x+sinx，
当0≤x≤2时，2x+sinx≥0，即f′（x）≥0，则f（x）在[0，]递增，
2
??
??
由f（﹣x）＝x2﹣cos（﹣x）＝x2﹣cosx＝f（x），可得f（x）为偶函数，则f（x）在[?，0]递减， 在x∈[?，]，可得f（x）＝f（|x|），由|x1|＞|x2|?f（|x1|）＞f（|x2|）?f（x1）＞f（x2），
2??
2??
??2可得x12＞x22?|x1|＞|x2|，故A，B错误，C正确；若
??
??2
??1??2
＞1，即有x1＞x2＞0，或x1＜x2＜0，
由f（x）在[?2，0]递减，在[0，]递增，可得f（x1）＞f（x2），故D正确，故选：CD．
12．（2020春?东营区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数??(??)=于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ） A．g（x）是偶函数 C．f（x）在R上是增函数 解：∵g（1）＝[f（1）]＝[
??1+??
????1
?，则关??1+??2B．f（x）是奇函数
D．g（x）的值域是{﹣1，0，1}
?]＝0，
21
1??g（﹣1）＝[f（﹣1）]＝[
1+
1???]＝[
2
11
??+1
?]＝﹣1，
2
1
∴g（1）≠g（﹣1），则g（x）不是偶函数，故A错误；
????1
∵??(??)=1+?????2的定义域为R，
???????1????1????
f（﹣x）+f（x）=1+??????2+1+?????2=??1+1+?????1
1+????1
=
1????
+?1=0，∴f（x）为奇函数，故B正确； 1+????1+????????11+?????1111
?=?=?， ????1+??21+??221+????1
1
∵??(??)=
又ex在R上单调递增，∴f（x）=2?1+????在R上是增函数，故C正确； ∵ex＞0，∴1+ex＞1，则0＜1+????＜1，可得?2＜2?1+????＜2，
即?＜f（x）＜．∴g（x）＝[f（x）]∈{﹣1，0}，故D错误．故选：BC． 三．填空题（共4小题）
(???2)﹣
13．（2019?西湖区校级模拟）函数f（x）=的定义域为 （1，2）∪（2，+∞） ；函数y＝2|a|的
√???10
11111
1212值域为 （0，1] ．
???2≠0
解：由f（x）有意义得{，解得x∈（1，2）∪（2，+∞）；
???1＞0因为﹣|a|≤0，所以2
﹣|a|
∈（0，1]，故答案为∈（1，2）∪（2，+∞）；（0，1]．
14．（2020?安丘市模拟）设集合A＝{（m1，m2，m3）|mi∈{﹣2，0，2}，i∈{1，2，3}}，则集合A满足条件：“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为 18 ．
解：∵2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5，且mi∈{﹣2，0，2}，∴当|m1|+|m2|+|m3|＝2时，
1
m1，m2，m3中两个0，一个2或﹣2；故共有?12??3=6种；
当|m1|+|m2|+|m3|＝4时，m1，m2，m3中﹣个0，另两个是2或﹣2； 故共有?13?2?2＝12种；故共有18个元素，故答案为：18．
15．已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），对一切x∈[﹣1，1]，都有|f（x）|≤1，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）的最大值为 7 ．
16．（2020?青羊区校级模拟）已知f（x）＝ex
﹣m+1
，??(??)=√??2+????+1，若f（x）≥g（x）对任意x≥0恒
成立，则实数m的取值范围是 [﹣2，1] ．（用区间表示）
必修一集合与函数概念单元测试培优训练
