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热点探究课(三) 数列中的高考热点问题
[命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．
热点1 等差、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．
(2016·天津高考)已知{an}是等比数
112*
列，前n项和为Sn(n∈N)，且－＝，S6＝63.
a1a2a3
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)bn}的前2n项和．
[解] (1)设数列{an}的公比为q. 112
由已知，有－＝2，
*
n2
a1a1qa1q解得q＝2或q＝－1. 2分 1－q又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，
1－q1－2
所以a1·＝63，得a1＝1.
1－2所以an＝2
n－1
6
6
. 5分
1
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1
(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)
211n－1n＝(log22＋log22)＝n－， 22
1
即{bn}是首项为，公差为1的等差数列. 8分
2设数列{(－1)bn}的前n项和为Tn，则
22222
T2n＝(－b21＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n)
n2
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝2nb1＋b2n2
＝2n. 10分
2
[规律方法] 1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列．
2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．
[对点训练1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
?1?
(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列?lg?的前n项和最大？
?an?
【导学号：66482265】
[解] (1)取n＝1，得λa1＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0. 若a1＝0，则Sn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以an＝0(n≥1). 2分 2
若a1≠0，则a1＝. 2
λ22
当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，
λλ两式相减得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列， 所以an＝a1·2
n－1
＝·2
2
n－1
λ＝
2
nλ.
2
n综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝. 5分
λ1
(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，
an2
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100
由(1)知，bn＝lgn＝2－nlg 2. 7分
2所以数列{bn}是递减的等差数列，公差为－lg 2.
b1>b2>…>b6＝lg
100100
>lg 1＝0， 6＝lg
264
100100
当n≥7时，bn≤b7＝lg7＝lg 2128 ?1? ??的前6项和最大. 12分 lg 故数列 an?? 热点2 数列的通项与求和(答题模板) “基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用． (本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ) 1 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. 3 (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和． [思路点拨] (1)取n＝1，先求出a1，再求{an}的通项公式． (2)将an代入anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得出数列{bn}为等比数列，再求{bn}的前n项和． 1 [规范解答] (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 3分 3所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1. 5分 (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，7分 31 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列. 9分 3记{bn}的前n项和为Sn， bn3
2024高考数学一轮复习第5章数列热点探究课3数列中的高考热点问题教师用书文北师大版
