大学全册高等数学知识点(全)资料

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大学高等数学知识点整理

公式，用法合集

极限与连续

一. 数列函数: 1. 类型:

(1)数列: *an?f(n); *an?1?f(an) (2)初等函数:

?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 (3)分段函数: *F(x)??; *F(x)??;* ,,x?xf(x)x?xa0?2?0 (4)复合(含f)函数: y?f(u),u??(x) (5)隐式(方程): F(x,y)?0

?x?x(t) (6)参式(数一,二): ?

y?y(t)? (7)变限积分函数: F(x)??xaf(x,t)dt

(8)级数和函数(数一,三): S(x)? 2. 特征(几何):

?axnn?0?n,x??

(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调??x0,(x?x0)(f(x)?f(x0))定号) (2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质:

? 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x???); *limf(x)(含x?x0)

?1(y)?y?f?1(x)

n??x??x?x0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型:

0??,,1,???,0??,00,?0 0? 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:

an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c)?max(a,b,c), ?a?0??0

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xnlnnx1x?0, x?1, limx?0, lim (x?0)??, lim?x???x???x?0exxxxlnx?0 lim, e???x?0n?0x??? ,???x???四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, sinu(x) eu(x)u(x); tanu(x)u(x); 1?cosu(x)12u(x); 2?1u(x); ln(1?u(x))u(x); (1?u(x))??1?u(x);

arcsinu(x) 2. 泰勒公式:

u(x); arctanu(x)u(x)

12x?o(x2); 2!122 (2)ln(1?x)?x?x?o(x);

2134 (3)sinx?x?x?o(x);

3!12145 (4)cosx?1?x?x?o(x);

2!4!?(??1)2? (5)(1?x)?1??x?x?o(x2).

2! (1)e?1?x?x五. 常规方法: 前提: (1)准确判断, 1. 抓大弃小(0??1,1,?M(其它如:???,0??,00,?0); (2)变量代换(如:?t) 0?x?), ?1?1,x??) x 2. 无穷小与有界量乘积 (??M) (注:sin? 3. 1处理(其它如:0,?)

00 4. 左右极限(包括x???):

1x (1)(x?0); (2)e(x??); ex(x?0); (3)分段函数: x, [x], maxf(x)

x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(

10xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim)

x?1x?001?x1?x各种学习资料，仅供学习与交流

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1x?11x1x11?x?1x (2)幂指型处理: u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)(如: e?e?e(e?1))

(3)含变限积分;

(4)不能用与不便用

7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)?limF(x,n)(?分段函数)

n??六. 非常手段 1. 收敛准则:

(1)an?f(n)?limf(x)

x??? (2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a?

(3)单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f'(x)?0?

f?f'(x0)

x?0x1112n 3. 积分和: lim[f()?f()??f()]??f(x)dx,

0n??nnnn 2. 导数定义(洛必达?): lim 4. 中值定理: lim[f(x?a)?f(x)]?alimf'(?)

x???x??? 5. 级数和(数一三):

2nn! (1)?an收敛?liman?0, (如limn) (2)lim(a1?a2?n??n??nn??n?1??an)??an,

n?1? (3){an}与

?(an?1?n?an?1)同敛散

七. 常见应用:

1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x) (1)f(0)?f'(0)? (2)

kxn,(x?0)?

?f(n?1)(0)?0,f(n)(0)?a?f(x)?anx??(xn)n!anx n!?x0f(t)dt?x0ktndt

2. 渐近线(含斜):

f(x),b?lim[f(x)?ax]?f(x)x??x??x1 (2)f(x)?ax?b??,(?0)

x (1)a?limax?b??

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f'(x)连续性) 八. [a,b]上连续函数性质

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