32?CDAD?在△ADC中，，则?2π??π?，
sin?θsinsin?DACsin?ACD????θ??3??3?3所以31cosθ?sinθ22?3cosθ， ，可得sinθ?31cosθ?sinθ5225721，cosθ?，
14142又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ?则sin2θ＝2sinθcosθ?53， 14所以S△ADC?1153153AD?CD?sin∠ADC??2?3?． ?22414【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E是DC的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，连结DB、DC、EB．
（1）求证：平面ADE⊥平面BDE； （2）求AD与平面BDC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理可得：AE⊥EB，再利用面面垂直的判定定理即可得出：BE⊥平面ADE，进而证明结论．
222. 11rruuurruuurr（2）建立空间直角坐标系．设平面BDC的法向量为n??x,y,z?，可得n?CB?n?DB?0求出n，可得
ruuurn?ADr. AD与平面BDC所成角的正弦值ruuun?AD【详解】（1）证明：AE2+BE2?(22)2?(22)2?16＝AB2，∴AE⊥EB， 又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE， ∴BE⊥平面ADE，又BE?平面BDE， ∴平面ADE⊥平面BDE；
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．E（0,0,0），A（22,0,0），B（0,22,0），D（2,0,2），C（?2,2,0）．
uuuruuuruuurCB?(?2,?2,0)．DB?(?2,22,?2)，AD?(?2,0,2)，
r设平面BDC的法向量为n??x,y,z?
则n?CB?n?DB?0，?2x?2y?0，?2x+22y?2z＝0，
ruuurruuurr取n??1,?1,3?．
ruuurn?AD42222r?∴AD与平面BDC所成角的正弦值ruuu． ?11n?AD2?11
【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
． 20.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n，N*）（1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn?an?1，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．
S2n?1?S2n?1【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N*；（2）[
21，）. 94【解析】 【分析】
（1）题先利用公式an???S1,n?12为公差的等差数列，进行转化计算可发现数列{an}是以1为首项，
S?S,n?2n?1?n即可计算出数列{an}的通项公式；
（2）题先根据第（1）题的结果计算出Sn的表达式，以及数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn，最后运用放缩法即可计算得到Tn的取值范围． 【详解】（1）由题意，当n＝1时，a12+2a1＝4S1﹣1＝4a1﹣1， 整理，得a12﹣2a1+1＝0， 解得a1＝1．
当n≥2时，由an2+2an＝4Sn﹣1，
2可得an?1?2an?1?4Sn?1?1，
两式相减，
22可得an?2an?an?1?2an?1?4Sn?1?4Sn?1?1，
即an2﹣an﹣12＝2an+2an﹣1，
∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1）， ∵an+an﹣1＞0， ∴an﹣an﹣1＝2，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*． （2）由（1）知，Sn＝n?n?n?1?2?2＝n2，
则bn?an?12n?1?1?
S2n?1?S2n?1(2n?1)2?(2n?1)2?18n111???[]， 4(2n?1)2?(2n?1)24(2n?1)2(2n?1)2∴Tn＝b1+b2+…+bn
?11111111?????L?1[（）（2）22] 22(2n?1)(2n?1)443534111111????L???[1] 323252(2n?1)2(2n?1)24?111[1?]＜，
(2n?1)244又∵an＞0，n∈N*，∴bn＞0， ∴Tn≥T1＝b1?∴
211（1?2）?， 43921?Tn＜． 94∴Tn的取值范围为[
12，）． 94【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，分类讨论思想，放缩法，不等式的计算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
21.已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l1上，且满足OP?OQ?0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C． （1）求曲线C的方程； （2）已知定点M(?uuuvuuuv11，0)，N(，0)，点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段
22MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围． 【答案】（1）y?2x；（2）(2?1,??) 【解析】 分析】
（1）设点P的坐标为（x，y），结合题意得出点Q的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P的轨迹方程；
2【相等得出r的表达式；
方法三是利用△MTH∽△MEB，得出
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），设直线AM的方程为y?k?x???1??，将该直线方程与曲线C2?的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B和点D的横坐标相等，于是得出BD⊥x轴，根据几何性质得出△MBD的内切圆圆心H在x轴上，且该点与切点的连线与AB垂直．
方法一是计算出△MBD的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；
方法二是设H（x2﹣r，0），直线BD的方程为x＝x2，写出直线AM的方程，利用点H到直线AB和AM的距离
MHHT?，然后通过计算得出△MBD内切圆半径r的表达式． MBBE1，通过化简得到r关于x2的函数表达式，并换元t?x2?＞将函数关系式转化为r关于t的函数关系式，
然后利用单调性可求出r的取值范围．
12uuuvuuuv详解】（1）设点P?x,y?，则Q??2,y? ∴OP??x,y?，OQ???2,y?
uuuvuuuvuuuvuuuv∵OP?OQ?0 ∴OP?OQ??2x?y2?0，即y2?2x
（2）设A?x1,y1?，B?x2,y2?，D?x3,y3?，直线BD与x轴交点为E，内切圆与AB的切点为T．
【22?1??1??y?k?x???k22222?，得：kx?k?2x?设直线AM的方程为：y?k?x??，则联立方程??0 ?2??4?y2?2x???y1?1?11y?x??， ∴x1x2?且0?x1?x2 ∴x1??x2 ∴直线AN的方程为：1?2??x1?4222与方程y?2x联立得：y1x??y1?2x1?2x1???221?12x?y1?0，化简得：?2?41?1?2x1x2??2x12??x?x1?0
2?2?解得：x?11?x2 ∴BD?x轴 或x?x1 ∵x3?4x14x1，?MBD，，，，，，，H，，H，x，，，HT?AB 方法（一）∴S?MBD21?1?1?????x2???2y2，且?MBD的周长为：2?x2???y22?2y2 2?2?2??∴SVMBD2?1??1?1?1?2??2?x2???y2?2y2??r???x2???2y2 2??2?2?2????∴
r?1??x??2?y22??1??y2??x2???y222??2?1x2?12?1?11?2y22?1??x2??2??11 .
??212x2?1?x?2?x2??22??112方法（二）设H?x2?r,0?，直线BD的方程为：x?x2，其中y2?2x2
直线AM的方程为：
y?1??1?1?x???yx?x?y?y2?0，且点H与点O在直线AB的同，即122??2?x2??22??2y2
2020届浙江省杭州市高三下学期4月统测模拟数学试题(解析版)
