第23讲 与圆有关的计算
1．弧长与扇形面积的相关计算
nπr
(1)半径为r的圆的周长：C＝2πr ；半径为r，n°的圆心角所对的弧长：l＝；
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nπr1
(2)半径为r的圆的面积：S＝πr；半径为r，圆心角为n°，弧长为l的扇形面积：S扇形＝＝lr.
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2
2
2．圆锥的侧面积和全面积
(1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形；
圆锥底面周长＝其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长＝其侧面展开所得扇形的半径； 底面周长×母线长
(2)圆锥侧面积＝＝πrl；
2
圆锥全面积＝侧面积＋底面积＝πrl＋πr(r表示底面圆半径，l表示圆锥的母线长)．
2
3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法：直接用公式求解；
(2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解；
(3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解； (4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解； (5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解．
考点1：弧长计算
【例题1】（2019?湖北武汉?3分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB（异于A.B）上两点，C是MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（ ）
A．2
B．
?2 C．
3 2D．5 2【分析】如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EB．设OA＝r．
∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵E是△ACB的内心， ∴∠AEB＝135°， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝DB， ∴AD＝DB＝2r， ∴∠ADB＝90°，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN， ∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴
MN的长GF的长＝
a?2r2a?r ?＝2．
180180故选：A．
归纳：1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．
2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边2π×ma
长．边长为a的正n边形的渐开线第m段弧长为.
n考点2：阴影部分面积的计算
【例题2】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________.
解析：如图，连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.DF交BC于点G，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
1290π×1π点D为AB的中点，∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝，则扇形FDE的面积是：＝，
223604∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH∠DMG＝∠DNH??
＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，在△DMG和△DNH中，?∠GDM＝∠HDN，∴△DMG≌△DNH(AAS)，
??DM＝DN1π1
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝，则阴影部分的面积是：－
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2021年中考数学考点总动员第23讲 与圆有关的计算
