2024届高三数学一轮复习《03不等关系与一元二次不等式》课时训练(含部分真题)

课时过关检测（三） 不等关系与一元二次不等式

A级——夯基保分练

1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( ) A．A≤B C．A＜B

B．A≥B D．A＞B

解析：选B 由题意得，A2－B2＝2ab≥0，且A≥0，B≥0，可得A≥B. 11

2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则( )

abA．ab>0 C．a＋b>0

B．ab<0 D．a＋b<0

1111b－a

解析：选A 因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.

abababx

3．不等式>1的解集为( )

2x－11?A.??2，1?

1

－∞，?∪(1，＋∞) C.?2??

B．(－∞，1) 1?

D.??2，2?

x

解析：选A 原不等式等价于－1>0，

2x－1即

x－?2x－1?x－1

>0，整理得<0，

2x－12x－1

1

不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得

2

4．(2024·湖北黄冈元月调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是( )

A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2)

D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

b

解析：选C ∵关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于

ab

x＋?(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为??a?{x|1

5．(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为( ) A．若a>b，则acbc2，则a>b C．若aab>b2 D．若a>0>b，则|a|<|b|

解析：选BC 当c＝0时，ac＝bc，故A错误；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，故B为真命题；若aab且ab>b2，即a2>ab>b2，故C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D错误．故选B、C.

6．(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( ) 11A．a＜b

22a＋2aC.＞ b＋2b

11B.－c＞－c abD．ac2＜bc2

1111

解析：选ABC 因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＜b.因为y＝－c在(0，

222xa＋2a2?b－a?a＋2a11

＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2

abbb＋2?b＋2?bb＋2b＝bc2，所以D不成立．故选A、B、C.

11

7．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．

ab

111111

解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.

baabab11

所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.

ab答案：a＜0＜b

2??ax－a<0，

8．若a<0，则关于x的不等式组?2的解集为________．

?x－ax－2a2<0?

解析：因为a<0，所以由ax－a2＝a(x－a)<0，得x>a，由x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)<0，得2a

答案：(a，－a)

3

9．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．

8解析：当k＝0时，显然成立；

3

当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则

8

??k<0，32＋kx－<0对一切实数x?解得－3

8?－3?<0，2

Δ＝k－4×2k×??8??

都成立的k的取值范围是(－3,0]．

答案：(－3,0]

10．(一题两空)设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式f(x)<0的解集是(1,5)，则f(x)＝________；若对于任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．

b解析：由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，

2c

＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10.不等式f(x)≤2＋t在x∈[1,3]时有解，2

等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1,3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.

答案：2x2－12x＋10 [－10，＋∞)

?1?

0的解集是?x??2

?

?

(1)求实数a的值；

(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．

1

解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.

2(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0， 1

即2x2＋5x－3<0，解得－3

2

1－3，?. 即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为?2??12．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. f?x?

(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；

x

(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．

2

f?x?x－4x＋11

解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.

xxx

11

因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.

xx

f?x?

所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.

x(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，

所以要使“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”， 只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨设g(x)＝x2－2ax－1，

则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．

???g?0?≤0，?0－0－1≤0，3所以?即?解得a≥.

4

?g?2?≤0，???4－4a－1≤0，

3

，＋∞?. 则实数a的取值范围为??4?

B级——提能综合练

13．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．(－1,1) 31

－，? C.??22?

13

－，? B.??22?D．(0,2)

解析：选B 由题意，新定义x?y＝x(1－y)， 那么(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)．

∵不等式(x－a)?(x＋a)＜1对于任意实数x均成立， 即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x均成立， 化简得：x2－x＞a2－a－1，

11

∵(x2－x)min＝－，∴只需a2－a－1＜－即可．

44

1313

－，?，故选B. 解得－＜a＜，所以a的取值范围为??22?22

14．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是________．

解析：因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0， 当a>1时，不等式的解集为{x|1

当a<1时，不等式的解集为{x|a

要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是a∈[－2,4]．

答案：[－2，4]

15．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m0的解集； 1

(2)若a>0，且0

a解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)， 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0， 即a(x＋1)(x－2)>0.

当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}； 当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且0

a所以x－m<0,1－an＋ax>0. 所以f(x)－m<0，即f(x)

C级——拔高创新练

16．(多选)不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，且|x1|＋|x2|≤2.其中错误的命题为( )

A．|a＋2b|≥2 C．|a|≥1

B．|a＋2b|≤2 D．b≤1

解析：选ABC 因为不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，则x1，x2

是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，x1x2＝b，又|x1|＋|x2|≤2.

不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，但|a＋2b|＝1，所以A不成立； 令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝1，但|a＋2b|＝4，B不成立； 令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，但|a|＝0，C不成立；