.
类型三 求函数的定义域
log0.5（4x－3）的定义域为( )
(1)(2015·山东模拟)函数y＝
?3?
D.?，1?
?4??3?4x－3＞0，
解：要使函数有意义，x应满足? 解得＜x≤1，所以函数的定义域
4??log0.5（4x－3）≥0，
?3?
为?，1?.故选D. ?4?
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，则函数y＝f(x2－3)的定义域为________．
?3?A.?，＋∞? ?4??3?
C.?，1? ?4?
B．(－∞，1)
??x2－3≥－1，
解：由题意知?
2－3＜1，x??
??x≤－2或x≥2，解得?
??－2＜x＜2.
∴函数的定义域为(－2，－故填(－2，－2]∪[
2]∪[2，2)．
2，2)．
【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由
.
.
不等式a≤g(x)≤b解出．
(1)(2015·安徽省黄山市检测)函数y＝
log2（x－1）
的定义域为________．
2－x(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2x)的定义域为________．
??x－1＞0，
解：(1)要使函数有意义，x应满足? 解得1＜x＜2，所以函数的定义域为(1，
2－x＞0，??
2)．故填(1，2)．
(2)令1≤2x≤7，得0≤x≤log27，故所求函数的定义域为[0，log27]．故填[0，log27]．
类型四 求函数的值域
求下列函数的值域：
.
.
1－x2
(1)y＝； (2)y＝2x＋1＋x2(3)y＝2x＋1－x2； (4)y＝
1－x；
；
x2－2x＋5x－1
(5)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域； (6)f(x)＝2x＋1－x－4. 解：(1)解法一：(反解) 1－x21－y2由y＝，解得x＝，
1＋x21＋y∵x2≥0，∴
1－y≥0，解得－1＜y≤1， 1＋y||||
∴函数值域为(－1，1]． 解法二：(分离常数法) 1－x22∵y＝＝－1＋，
1＋x21＋x2又∵1＋x2≥1，∴0＜
21＋x2
≤2，∴－1＜－1＋2
x2＋1
≤1，
∴函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法)
令t＝1－x(t≥0)，∴x＝1－t2，
?1?217
?t－?＋. ?4?8?17?17
∵t≥0，∴y≤，故函数的值域为?－∞，?.
8?8?
∴y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2(3)(三角换元法) 令x＝cost(0≤t≤π)，
?12?
??. ，sinφ＝∴y＝2cost＋sint＝5sin(t＋φ)?其中cosφ＝
55???
∵0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ， ∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1. 故函数的值域为[－2，(4)解法一：(不等式法) ∵y＝
5]．
4
x2－2x＋5（x－1）2＋4x－1
＝
x－1
4
＝(x－1)＋
x－1
，
又∵x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0， ∴当x>1时，y＝(x－1)＋
x－1
≥24＝4，且当x＝3，等号成立；
.
.
??4
?≤－4，且当x＝－1，等号成立． 当x<1时，y＝－?－（x－1）＋
－（x－1）??
∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 解法二：(判别式法) ∵y＝
x2－2x＋5x－1
，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∴方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根． ∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0，解得y≤－4或y≥4. 当y＝－4时，x＝－1；y＝4时，x＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (5)(单调性法)
∵3x2＋2y2＝6x，∴2y2＝6x－3x2≥0，解得0≤x≤2.
32
z＝x2＋y2＝x2＋3x－x2
119
22＝－x＋3x＝－(x－3)＋. 222
∵对称轴为x＝3＞2，即z在x∈[0，2]上单调递增． ∴当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，z有最大值4， 故所求函数的值域为[0，4]． (6)(图象法)
.
.
??
1f(x)＝?
3x－3，－≤x≤4，
2
?x＋5，x＞4，?
?9?
作出其图象，可知函数f(x)的值域是?－，＋∞?.
?2?
【点拨】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
1
－x－5，x＜－，
2
(1)(2015·江西模拟)函数y＝
域为________．
解：y＝
x－3x＋1
的值
x－3x＋1－4
444
＝＝1－，因为≠0，且可取除0外的一切实数，所以1－x＋1x＋1x＋1x＋1x＋1
≠1，且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y|y∈R且y≠1}．故填{y|y∈R且y≠1}．
(2)函数y＝x＋＋
x－1的值域为________．
x－1都是增函数， ∴y＝x解：函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y＝x和y＝x－1也是增函数，∴当x＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．故填[1，＋∞)．
.
高考数学(理)一轮复习学案：§2.1-函数及其表示+(新课标含解析)
