7-5 非线性控制系统的相平面分析法
相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。
一、线性控制系统的相平面分析
1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。若系统开始处于平衡状态。试求
?平面上的相轨迹。 系统在阶跃函数r(t)?R0 ?1(t)作用下，在e?e建立系统微分方程式，由图示系统可得
???c??Ke Tc因为e?r?c，代入上式得
???e??Ke?T???r? （7-31） r Te?(t)?r(t)?0 对于r(t)?R0?1(t),t?0?时，r因此上式可写成
???e??Ke?0 Te（7-32）
方程（7-32）与（7-22）式相仿。因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条
?平面上的相轨迹起始于(R0,0)点，而收敛于原点(系统的?(0)?0。e?e件是e(0)?R0和e奇点)。当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)
?平面上的相轨迹就可方便的求得c?c?平面上系统输出的相轨迹，如图所示。根据e?e7-39(b)所示。由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量?P及系统在稳态时的误差
?平面相轨迹最终到原点，?平面上相轨迹最终到达c?R0为零。因为e?e即奇点；所以在c?c的稳态值，则奇点坐标为(R0,0)。
?(t)?V0及2、斜坡响应 对于斜坡输入r(t)?V0t；当t?0时，r(t)的导数rr(t)?0。因此，方程（7-31）可以写成
???e??K(e????e??Ke?V0 或 Te Te令e?V0K?ev，代入上式，则有
V0)?0 K?????Ke??V0 Te（7-33） ??e?平面上方程（7-32）给出的相平?v平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e?e在ev?e面图是相同的。
?v平面上的奇点的位置是坐标应当指出，特征方程式的根确定了奇点的性质，在ev?e?平面上奇点坐标为(V0K,0)点。原点，而在e?e又因为我们假设系统初始状态为平衡状态。
?(0)?V0。如果式（7-33）的特征根是处于左半平所以误差信号的初始值e(0)?0,，e?平面上的相轨迹为如图7-40所示。 面的共轭复数根时，则在e?e由上面分析可以看出，图7-38所示系统，对于斜坡输入时的相轨迹，除整个相轨迹图形向右平移V0K之外，其他与阶跃输入时完全相同。另外，当系统在斜坡输入时，相轨迹最终不是到原点而是卷入奇点(V0K,0)。这表示系统在斜坡输入时呈现的稳态误差为
V0K。
二、非线性控制系统的相平面分析
当非线性元件静特性可以用分段直线来表示时，这样的非线性系统就可以用几个分段线性系统来描述。这时，整个相平面可以划分成若干个区域，其中每一个区域相应于一个单独的线性工作状态。相应地每一个区域都有一个奇点，不过这个奇点有时可能不一定在本区域之内，而是在其它区域。如果奇点位于本区域之内，则称为实奇点；如果奇点位于本区域之外，那么该区内的相轨迹就永远不可能到达该点，因此，称这样的奇点为虚奇点。具有分段线性特性的二阶系统，一般只有一个实奇点，因此与具有实奇点的区域相邻接的所有区域都将具有虚奇点。每一个奇点的位置和性质，都取决于相应区域的运动方程。每一个区域的相平面图均表示一个相应线性系统的相平面图。有了这些相平面图以后，只要在区域的边界线上，把相应的相轨迹连接起来，就可构成整个系统的完整的相轨迹。下面举例说明具体做法。
1、具有非线性增益的控制系统 设如图7-41(a)所示的非线性控制系统，图中GN表示的方块是一个非线性放大器，其静特性如图7-41(b)所示，当误差信号e的数值大于e1或小于e1时，放大器的增益k分别等于1或小于1，即
e?e1?e m?? （7-34）
kee?e?1可见，系统在大误差信号时，具有大的增益；而在小误差信号时，增益也小。
因为图7-40(a)所示系统是分段线性的。所以可以把它看成是两个线性系统的组合，其相应的相轨迹也由两个线性系统的相轨迹组合而成。具体做法如下：
假设系统初始状态为静止平衡状态。根据系统结构图，写出变量c与m之间的微分方程为
???c??Km Tc由于e?r?c，代入上式得
???e??K?T???r? r Te（7-35） ?平面上作相应的相轨迹。 设系统在单位阶跃输入r(t)?1(t)作用下，在e?e?????0，所以式（7-35）成为 r对于单位阶跃输入，当t?0时，r???e??Km?0 （7-36） Te
上式即为非线性系统在单位阶跃作用下的误差微分方程。将式（7-34）代入式（7-36）得下列两个线性微分方程：
???e??Ke?0 e?e1 Te（7-36a） ???e??Kkm?0 e?e1 (7-36b) Te
在下面的分析中，假设方程（7-36a）为欠阻尼的运动方程，其特征根为具有负实部的共轭复数根，对应的相轨迹如图7-42(a)所示，奇点（0，0）为稳定焦点。假设方程(7-36b）为过阻尼的运动方程，相应的特征根为两个负实根，相轨迹如图7-42(b)所示，奇点(0，0)为稳定节点。
根据方程（7-36a）和(7-36b）所确定的相应区域，将图7-42(a)和图7-42(b)组合在一起就可得到图7-41所示非线性系统的相轨迹图，如图7-43所示。图中系统参数为：T?1，
k?0.0625，K?4和e1?0.2。
由图7-43可知，相平面被分割成三个区域：在直线e?e1和e??e1限定的区域内对应着方程(7-36b）,而在这个区域以外相轨迹由方程(7-36a)确定。相轨迹起始于A点，该点由初
?(0)?0确定。从A点出发始条件e(0)?0,，e的相轨迹，首先沿7-42(a)所示相轨迹运动，并“企图”收敛到稳定焦点（虚奇点，坐标原点）。然而，当相点（描述点）运动到B点，即到达本区域的边界线e?e1线上时，若继续运动将越
出边界而进入新的区域。因此，相轨迹将在B点发生转换，B点是上一区域的终点，同时也
是下一区域的起点。从B点开始直至再发生下一次转换为止，相点将沿图7-42(b)所示相迹
（0，0）运动而企图收敛到稳定节点。但是在C点，系统又一次发生转换，相轨迹趋向于收敛
虚奇点（稳定焦点）。同样，当相点到达D点时又将发生转换……如此反复继续下去，直至最后相轨迹进入?e1区域，不再越出并最终收敛到稳定节点，即实奇点(0,0)为止。可见，非线性系统的整个相轨迹为ABCDEFO，如图7-43的实线所示。显然，系统在阶跃输入下稳态误差为零。图7-43中用虚线描绘的相轨迹为图7-44所示欠阻尼二阶系统在单位阶跃作用下的相轨迹图。比较这两条相轨迹，可见前者所对应的阶跃响应特性比后者要好。首先
收敛速度快，即系统速度性提高了，其次，超调量小。对于较小的阶跃输入，响应甚至是无超调的。对于中等大小的阶跃输入，系统的阶跃响应具有一次超调。对于大的阶跃输入，虽然在系统的响应曲线中可能出现超调和反向超调，但其超调量肯定比图7-44所示的线性系统要小。图7-41所示系统在典型阶跃输入时的误差响应曲线如图7-45。
2、继电系统
在图7-41所示非线性随动系统中，
将放大器换成继电器，并假定继电器具有理想的继电特性，系统结构图如图7-46所示。理想继电器特性的数学表达式为 m??e?0?1 （7-37） ?1e?0?假设系统初始状态为静止平衡状态。继电系
统运动方程为
???e??Km?T???r? r Te对于阶跃输入r(t)?R0?1(t)，当t?0时，有
?????0，所以上式为 rr???e??Km?0 （7-38） Te将式(7-37)代入上式得方程组
???e??K?0ee?0?T?(7?38a)
??e??K?0e(7?38b)e?0?T?显然，两个方程均为线性微分方程。因为继电特性是由两条直线段组成，所以两条直线段内
继电系统的特性仍为线性的，只是在继电器切换时才表现出非线性特性。
非线性控制系统的相平面分析法讲解
