4．单摆
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1.对单摆的理解
（1）用一根不可伸长且没有质量的细线悬挂一质点所组成的装置，叫做单摆，它是实际摆的理想化模型.
实际摆可看成单摆的条件：
①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，悬线的质量与摆球质量相比小得多，此时可看作摆线不可伸长，质量忽略.
图11-4-1
②摆球大小相对摆线长度小得多，可忽略. （2）单摆的回复力
如图11-4-1所示.摆球受重力mg和绳子拉力F′两个力作用，将重力按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F提供了摆球振动所需的回复力F=mgsinθ. 在最大摆角小于10°时，sinθ≈反，所以回复力可表示为F?? 令k?x,F的方向可认为与位移x平行，但方向与位移相lmgx. lmg，则F=-kx,由此可见，单摆在偏角较小的情况下的振动可视为简谐运动. l 摆球所受的回复力是合力沿圆弧切线方向的分量（等于重力沿圆弧切线方向的分量），而不是合力，因此摆球经平衡位置时，只是回复力为零，而不是合力为零（合力不为零） 2.单摆的振动周期
（1）用控制变量法进行探究.
①摆长l相同，而摆球质量m不同的两单摆，结论：周期相同，单摆的振动周期与摆球质量无关.
②摆球质量m相同，而摆长l不同的两单摆，结论：摆长较长的单摆振动周期大.
③相同的两单摆，以大小不同的最大偏角（都小于10°）运动，结论：周期相同，单摆的振动周期与振幅大小无关.
（2）伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式，并发明了摆钟. （3）单摆的周期公式：T?2?l. g 1
①单摆的周期T?2?1l为单摆的固有周期，相应地f?2?gg为单摆的固有频率. l②单摆的周期公式在最大偏角小于10°时成立. ③单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度.
g值还与单摆所处的物理环境有关，如在均匀场中，其等效重力加速度g′等于摆球在平衡位置不摆动时摆线的张力与摆球质量的比值.
④l为单摆的摆长：因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长均为从悬点到摆动物体重心的长度，而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长. ⑤周期为2 s的单摆叫做秒摆. 3.用单摆测重力加速度 （1）实验目的
①学会用单摆测定当地的重力加速度. ②加深对单摆振动周期公式的理解. ③学会使用秒表. （2）实验原理
单摆在摆角很小（小于10°）时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期为T?2?l，g4?2l其中l为摆长，g为当地重力加速度，由此可得g?.据此，只要测出摆长l和周期T，2T就可计算出当地重力加速度g的数值. （3）注意事项
①线要细且弹性要小，摆球用密度大体积小的小球，悬点要固定.
②摆角要适当，一般取5°—10°.摆角太小不便于测量，摆角太大就不是简谐运动. ③单摆应在同一竖直面内摆动，防止做圆锥摆运动.
④摆长应是悬点到球心的距离，即摆线长加上摆球的半径. ⑤从摆球经过平衡位置开始计时. 活学巧用
1.对于单摆的振动，以下说法中正确的是（ ） A.单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零
思路解析：单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向
2
分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为mv/l,可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大；而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零.故应选C. 答案：C
2.如图11-4-2所示是单摆振动示意图，正确的说法是（ ）
2
图11-4-2
A.在平衡位置摆球的动能和势能均达到最大值 B.在最大位移处势能最大，而动能最小
C.在平衡位置绳子的拉力最大，摆球速度最大 D.摆球由A向C运动时，动能变大，势能变小 思路解析：单摆的振动是简谐运动，机械能守恒，远离平衡位置运动，位移变大，势能变大，而动能减小；反之，向平衡位置运动时，动能变大而势能变小，故BD正确，A错.
mv2小球在平衡位置只受重力和绳子拉力，拉力F=mg+，由上述分析知，平衡位置时动能
r最大，即v最大，故F也最大，故C正确. 答案：BCD
2
3.将一水平木板从一沙摆（可视为做简谐运动的单摆）下面以a=0.2 m/s的加速度匀加速地水平抽出，板上留下的沙迹如图11-4-3所示，量得O1O2=4 cm，O2O3=9 cm,O3O4=14 cm.试求沙摆的振动周期和摆长.（取g=10 m/s）
2
图11-4-3
思路解析：根据单摆振动的等时性得到O1O2、O2O3、O3O4三段位移所用的时间相同，
?s5?10?2由匀变速直线运动规律Δs=aT得T??s=0.5 s
a0.22
振动周期T′=2T=1 s 由单摆公式T??2?l,得 gT?2gl?=0.25 m
4?2答案：1 s 0.25 m
4.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用刻度尺量悬点到小球的距离为96.60 cm，用卡尽量得小球直径是5.260 cm，测量周期3次，每次是在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到计时终止，结果如下表：
1 2 3 3
数的次数 时间（s） 61 60.40 81 79.80 71 70.60 2这个单摆振动周期的测定值是__________ s，当地重力加速度的值是__________m/s.（取三位有效数字）
思路解析：由题可知单摆的周期
T.401?60(61?1)/2 s=2.013 s
T79.802?(81?1)/2 s=1.995 s
T70.603?(71?1)/2 s=2.017 s
则周期T?T1?T2?T33=2.01 s
摆长l=l′+
d2=(0.966+12×0.052 6) m=0.992 3 m
故重力加速度
g?4?2l4?3.142?0.992322T2?2.012m/s=9.69 m/s. 答案：2.01 9.69
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高中物理 第十一章 机械振动 4 单摆互动课堂学案 新人教版选修3-4
