15．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝mx+n 交于 A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式 ax2+mx+c＞n 的解集是 x＜﹣3 或 x＞1 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝mx+n 交于 A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线 y＝ax2+c 与直线 y＝﹣mx+n 交于 P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当 x＜﹣3 或 x＞1 时，直线 y＝﹣mx+n 在抛物线 y＝ax2+bx+c 的下方， ∴不等式 ax2+mx+c＞n 的解集为 x＜﹣3 或 x＞1． 故答案为：x＜﹣3 或 x＞1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分， 16．（6 分）计算：6sin60°﹣
+（）0+|
﹣2024|
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简 4 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式＝6×＝2024．
，
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7 分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
阅读时间 t（小时） 0≤t＜0.5 0.5≤t＜1 人数 4 m 占女生人数百分比 20% 15%
1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5 根据图表解答下列问题：
5 6 2 25% n 10% （1） 在女生阅读时间人数统计表中，m＝ 3 ，n＝ 30% ；
（2） 此次抽样调查中，共抽取了 50 名学生，学生阅读时间的中位数在 1≤t＜1.5 时间段；
（3） 从阅读时间在 2～2.5 小时的 5 名学生中随机抽取 2 名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率
是多少？
【分析】（1）由 0≤t＜0.5 时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；
（2） 将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；
（3） 利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）女生总人数为 4÷20%＝20（人）， ∴m＝20×15%＝3，n＝故答案为：3，30%；
×100%＝30%，
（2）学生总人数为 20+6+5+12+4+3＝50（人），
这组数据的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据均落在 1≤t＜1.5 范围内，
∴学生阅读时间的中位数在 1≤t＜1.5 时间段， 故答案为：50，1≤t＜1.5；
（3）学习时间在 2～2.5 小时的有女生 2 人，男生 3 人．
共有 20 种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18．（7 分）如图，点 M 和点 N 在∠AOB 内部．
（1） 请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2） 请说明作图理由．
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：（1）如图，点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等；
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
19．（8 分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 y（km）与小王的行驶时间 x（h）之间的函数关系． 请你根据图象进行探究：
（1） 小王和小李的速度分别是多少？
（2） 求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点 C 的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由图可得， 小王的速度为：30÷3＝10km/h，
小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20km/h， 答：小王和小李的速度分别是 10km/h、20km/h； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：30×20＝1.5h，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15km，
∴点 C 的坐标为（1.5，15），
设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx+b，
，得 ，
即线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数解析式是 y＝30x﹣30（1≤x≤1.5）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
20．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是与 BD 交于点 H，与 OE 交于点 F．
（1） 求证：AE 是⊙O 的切线； （2） 若 DH＝9，tanC＝
的中点，E 为 OD 延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC
，求直径 AB 的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到 OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得 tanC＝tan∠ODB＝
＝，设 HF＝3x，DF＝
4x，根据勾股定理得到 DF＝
，HF＝ ，根据相似三角形的性质得到 CF＝
＝
，求得 AF＝CF＝
，设 OA＝OD＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D 是∴OE⊥AC，
的中点，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
2024年山东省济宁市中考数学试题（含解析）
