设总体中分数在区间则
，得
，
内的人数为，
所以总体中分数在区间(3)由频率分布直方图知， 分数不小于70的人数为
内的人数为20人.
(人)，
已知分数不小于70的男女生人数相等， 故分数不小于70分的男生人数为30人， 又因为样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为：即女生的频率为：
， ，
.
即总体中男生和女生人数的比例约为：
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 23. 如图，四棱锥
,
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥
.
的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取平面
为等边三角形，则
的面积为
，利用面面垂直的性质定理可推出，求出四棱锥的体积.
底面ABCD，设
中点，由于
，表示相
关的长度，利用试题解析： （1） 在平面又
平面
内，因为
平面
故
平面
,所以
（2）取由得四边形因为侧面所以因为设
的中点，连接及
.
，平面
平面
，
为正方形，则
为等边三角形且垂直于底面
底面
底面，则
，所以
,
，取
的中点
，连接
，则
,
所以，
因为解得
的面积为（舍去），
，所以
，
于是所以四棱锥
的体积
的距离比到点
的距离大1.
24. 已知曲线上任意一点到直线（1）求曲线的方程；
（2）过曲线方），为【答案】（1）
的焦点的准线，点
，且倾斜角为在上且；（2）
.
的直线交,求
到直线
于点（的距离.
在轴上
【解析】试题分析：（1）由已知得曲线C上的点到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以曲线C的轨迹是抛物线，由此能求出其方程． （2）由直线与抛物线联立得到M坐标，再根据求点到直线距离. 试题解析：
（1）由已知得曲线C上的点到直线x=?1的距离等于到点(1,0)的距离,所以曲线C的轨迹是抛物线,其方程是（2） 由题意知解得：因为
,所以
的距离为
.
在区间
，.
上的最小值；
，且
恒成立，求的取值范围.
，与抛物线，所以
.
.
联立得，因为
，所以
， .
；
得到N坐标，从而有直线
的方程，即可
所以到直线25. 已知函数（1）当
时，求
（2）若对任意【答案】（1）-2；（2）
【解析】试题分析：（1）求函数导数，根据函数的单调性求最值即可；
（2）令可. 试题解析： (1)又当所以函数（2）设
时
,即
最小值为
，只需证在上单调递增即可，只需在上恒成立即
定义域为
，
在. ，即
，
上单调递增，
，
只要在上单调递增即可，而，
当当则需要即
时，时，只需
，对于函数，综上，
，此时在
在上单调递增；
，只要
，对称轴
，只需
，
上恒成立，因为
，过定点
.
选做题（请考生在26、27两题中任选其一解答，多选按第一题给分）
26. （选修4-4 坐标系与参数方程） 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为
(是参数)，直线的极坐标方程为
. （1）求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线的距离的最大值． 【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程． （2）设点P(2cosα,
sinα)，求得点P到直线l的距离
，，由此求得d的最大值．
试题解析：(1)∵直线l的极坐标方程为即
曲线C的参数方程为可得
.
sinα)为曲线C上任意一点， .
,即
(α是参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α，
(2)设点P(2cosα,
则点P到直线l的距离
故当cos(α+β)=?1时,d取得最大值为27. （选修4-5 不等式选讲）已知函数
(I)当(II)若【答案】（1）
时，求不等式
的解集包含
；（2）
的解集； ，求
.
.
，
的取值范围. .
【解析】试题分析：（Ⅰ）将a=?3代入，分类讨论解不等式即可。
（Ⅱ）根据x的范围去掉绝对值，得|x+a|+2?x≤4?x在[1,2]上恒成立，即?2?x≤a≤2?x在[1,2]上恒成立，解出a的范围即可。 试题解析： （Ⅰ）当a=?3时，
1或x≥4。 解集为：
.
（Ⅱ）原命题?f(x)≤|x?4|在[1,2]上恒成立?|x+a|+2?x≤4?x在[1,2]上恒成立??2?x≤a≤2?x在[1,2]上恒成立??3≤a≤0。
点睛：含绝对值不等式的解法由两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.
2021届河北省大名县第一中学高三(普通班)上学期第一次月考数学(文)试题Word版含解析
