函数的单调性
一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 A．y=2x＋1
C．y=
B．y=3x2＋1 D．y=2x2＋x＋1
（ ）
2 x
2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，
则f(1)等于 （ ） A．－7 B．1 C．17 D．25
3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ） A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5) 4．函数f(x)=
ax?1在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 x?211A．(0，) B．( ，＋∞)
22（ ）
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一的实根 6．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ） A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数 C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数
7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式
|f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A．(－1，2) B．(1，4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞）
8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5
－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ） A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1) C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9) 9．函数f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)的递增区间依次是
A．(??,0],(??,1]
（ ）
B．(??,0],[1,??)
C．[0,??),(??,1] D[0,??),[1,??)
10．已知函数f?x??x2?2?a?1?x?2在区间???,4?上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则 （ ） A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3) 二、填空题：
13．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _． 14．函数y=x－21?x＋2的值域为__ ___． 15、设y?f?x?是R上的减函数，则y?f?x?3?的单调递减区间为 .
16、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ． 三、解答题：
17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f( （1）求f(1)的值．
（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(
x) = f(x)－f(y) y1) ＜2 ． x
18．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减
函数？试证明你的结论．
19．试讨论函数f(x)=1?x2在区间［－1，1］上的单调性．
20．设函数f(x)=x2?1－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．
21．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范
围．
x2?2x?a22．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］
x1（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
2（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题： CDBBD ADCCA BA
二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.?3,???， ???,??
2??1??三、解答题：17.解析：①在等式中令x?y?0，则f(1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则f(36)?f(36)?f(6),?f(36)?2f(6)?2. 6故原不等式为：f(x?3)?f()?f(36),即f[x(x＋3)]＜f(36)， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
1x?x?3?0?1153?3?故不等式等价于：??0?0?x?.
x2???0?x(x?3)?3618.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：
设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．
f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋
x2232
)＋x2］．
42x2232
)＋x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)．
42∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
19.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．
f(x1)－f(x2)=1?x1－1?x2=
22(1?x1)?(1?x2)1?x1?1?x22222=
(x2?x1)(x2?x1)1?x1?1?x222
∵x2－x1＞0，1?x1?1?x2＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)． 当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．
故f(x)=1?x2在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=1?x2在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x1、x2∈0，＋??且x1＜x2，则
22
f(x1)－f(x2)=x1?1－x2?1－a(x1－x2)=
22x1?x22222－a(x1－x2)
x1?1?x2?1=(x1－x2)(
x1?x2x1?1?x2?122－a)
(1)当a≥1时，∵
x1?x2x1?1?x2?122＜1，
又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋??上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中
2a，满足f(x1)=f(x2)=1 21?ax1?x2x1?1?x2?122＜1利用了x1?1＞|x1|≥x1;x2?1＞x2；
22③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．
21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数
∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)
???1?m?3??2?m?1?2?12312??1∴??2?1?2m?2,即???m? 解得??m?，∴m的取值范围是(－,)
22323?m?1?1?2m?2?2?m??3?22.解析： (1)当a=
11时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞) 22xx?x2111?x1?=(x2－x1)＋1=(x2－x1)(1－)
2x1x22x1x22x22x11＞0，则f(x2)＞f(x1) 2x1x2设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋
∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－
可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=
7． 2
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