专题3.3 图形面积求最值，函数值域正当时
【题型综述】
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
【典例指引】
6x2y2例1已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的一个顶点为??0,?1?，离心率为，直线3abl:y?kx?m（k?0）与椭圆C交于?，?两点，若存在关于过点?的直线，使得点?
与点?关于该直线对称． （I）求椭圆C的方程； （II）求实数m的取值范围；
（III）用m表示????的面积S，并判断S是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
?x2?x1??x2?x1???y2?y1?2??y2?y1??0??x2?x1??k?y2?y1?2??0，可得：
?6km?2m?2??2k?02m?3k?1?1（k?0），故，则有：??223k?1?3k?1???12m?2?m??0?1?m?2 2
（III）法一（面积转化为弦长）：????x1?x2???y1?y2?22?1?k212m?2?m?3k2?1，
?到
l:y?kx?m的距离d?m?1k?12，S????11m?112m?2?m?，所以 ???d??222m3?2212?S2??3??m2?，设f?m??3??m2，?m?2，则f??m???2m?2?0，
4?mm2m?所以f?m?在?,2?上是减函数，所以面积S无最大值．
法二（面积坐标化公式）：易得向量????x1,y1?1?，????x2,y2?1?，则有
?1?2??S??????m?1?x1?x211x1y2?x1?x2y1?x2?x1?kx2?m??x2?kx1?m??x1?x2? 22212m?2?m?4m3?2?1?S2??3??m2?，?m?2
4?m?2??m?1?因
3?22?1??1?22?2，?m在?,2?上均为减函数，则?S??3??m?在?,2?上均为减函数，
4?mm??2??2?所以面积S无最大值．
可得????的面积S的取值范围为?0,?81??． 16??点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线??斜率k与截距m之间的关系；②据位置关系构建直线??斜率k与截距m之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦??的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标????纵坐标；法二则点差法处理弦直线上中点问题．均可得到直线??的斜率k与截距m之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数m的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；
（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积
交点在的坐标公式S?1x1y2?x2y1，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题2全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点?的直线交椭圆于D，求四边形??D?的面积的取值范围．
x2y22例2、已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右两个焦点分别为F1,F2，离心率e?，2ab短轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）点A为椭圆上的一动点（非长轴端点），AF2的延长线与椭圆交于B点， AO的延长线与椭圆交于C点，求?ABC面积的最大值. 【思路引导】
（1） 由题意得b?1，再由e?c22?,a?b2?c2a?2， c?1 ?标准方程为a2?x22??2??2??y2?1；（2）①当AB的斜率不存在时，不妨取A?1, ,B1,?,C?1,????????????22??2??2??1S?ABC??2?2?2； ②当AB的斜率存在时，设AB的方程为y?k?x?1?，联立
2y?k?x?1?方
程
组
{x2 2?y?12
?
?4k22k2?22k?1x?4kx?2k?2?0x1?x2?2,x1?x2?2 2k?12k?12?222?kkk2?1AB?22 ，又直线的距离 ?点C到直kx?y?k?0d???2222k?1k?1k?1线
AB2kk?12的距离为
2d???2?ABC S?ABC11?k2?1?2k11?AB?2d???22?2???22?22?2k?1?k2?1442k2?1??2面积的最大值为2. 解析：（1） 由题意得2b?2，解得b?1，
高考数学玩转压轴题专题3_3图形面积求最值,函数值域正当时1
