证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可． 【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）EG2=GF?AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG=OF=GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴
，即DF2=FO?AF．
∵FO=GF，DF=EG， ∴EG2=GF?AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2
，
∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0． 解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）． ∵DF=GE=2∴AD=
，AF=10，
=4
．
∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴∴GH=
，即．
﹣
=
．
=
．
∴BE=AD﹣GH=4
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO?AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．
25．（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形． （3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN 得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）， ∴解得
．
，
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4； （2）△ABC是直角三角形． 令y=0，则﹣x2+x+4=0， 解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0）， 由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20， 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC=
=4
，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣40）或（8+4
，0）
，
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4
，0）、（3，0）、（8+4
，0）．
（4）如图，
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D， ∴MD∥OA， ∴△BMD∽△BAO， ∴
=
，
∵MN∥AC ∴∴
==
， ，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2 ∴MD=（n+2）， ∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BN?OA﹣BN?MD
=（n+2）×4﹣×（n+2）2 =﹣（n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5， ∴N点坐标为（3，0）
山东省枣庄市2024年中考数学试题（含解析）
