§3.1 导数的概念及运算
1．导数的概念
(1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率
f ?x2?－f ?x1?
函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f (x2)－f (x1)，则平均变化率可表示
x2－x1为Δy. Δx
Δyf ?x0＋Δx?－f ?x0?
(2)设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无ΔxΔx限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义
函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f (x)＝c(c为常数) f (x)＝xα(α∈Q*) f (x)＝sin x f (x)＝cos x f (x)＝ex f (x)＝ax(a>0) 导数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝ex f′(x)＝axln a －
f (x)＝ln x 1f′(x)＝ x1f′(x)＝ xln af (x)＝logax(a>0，a≠1)
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)?
f ?x??f′?x?g?x?－f ?x?g′?x?
′＝(g(x)≠0)． ?g?x??[g?x?]2
5．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 概念方法微思考
1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f (x)的形状有何变化？ 提示 |f′(x)|越大，曲线f (x)的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)＝[f (x0)]′.( × )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(4)函数f (x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × ) 题组二 教材改编
2．若f (x)＝x·ex，则f′(1)＝ . 答案 2e
解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
2
3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为 ．
x＋2答案 2x－y＋1＝0
2
解析 ∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.
?x＋2?2∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f (x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f (x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
5．已知函数f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( ) 19161310A. B. C. D. 3333答案 D
解析 因为f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4， 10所以a＝.
3
6．设f (x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝ . 2
答案 － 3
2
解析 因为f′(x)＝－－2sin 2x，
3－2x2
所以f′(0)＝－.
3
7．(2024·苏州模拟)已知函数f (x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R)．若曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝ ，b＝ . 答案 1 2
解析 由f (x)＝(bx－1)ex＋a得f′(x)＝ex(bx＋b－1)，曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x. f′(0)＝1，f (0)＝0，即b－1＝1，－1＋a＝0，解得a＝1，b＝2.
导数的运算
2x－1
，则f′(x)＝ . 2x＋1
1．已知f (x)＝ln
4
4x2－1
答案
?2x－1?′＝1?2x－1?′＝2x＋1·??2x－1?′?2x＋1?－?2x－1??2x＋1?′?＝4.
解析 f′(x)＝?ln ?????4x2－1?2x＋1?22x－1?2x＋1?2x－1??2x＋1??
2x＋1
xx
1－2cos2?，则f′(x)＝ . 2．已知f (x)＝sin ?4?2?1
答案 －cos x
2
xx1
－cos ?＝－sin x， 解析 因为f (x)＝sin ?2?2?2111
－sin x?′＝－(sin x)′＝－cos x. 所以f′(x)＝??2?223．f (x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ . 答案 1
1
解析 f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x，
x由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.
4．(2024·盐城模拟)已知函数f (x)的导函数为f′(x)，f (x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x，则f′(2)等于( ) 991717A. B. C. D. 2448答案 D
解析 ∵f (x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x， 1
∴f′(x)＝4x－3f′(2)＋，将x＝2代入，
x117
得f′(2)＝8－3f′(2)＋，得f′(2)＝.
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思维升华 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
3.1 导数的概念及运算-2024-2024学年新高考数学一轮复习讲义
