《空间向量》章末复习题
一、单选题
1．点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为（ ）
A．(－1，2，3)
B．(1，－2，－3) D．(1，2，－3)
C．(－1，－2，－3)
【答案】D【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为(1,2,?3)．故选D．
2． ?2???2,0,2?，若两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为?1??1,0,-1?，则l1和l2的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不确定
【答案】A【解析】因为两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为?1??1,0,-1?，?2???2,0,2?， 所以?2??2v1，即?2与v1共线，所以两条不重合直线l1和l2的位置关系是平行， 故选A
3．若向量a?(2,0,?1)，向量b?(0,1,?2)，则2a?b?（ ）
A．(?4,1,0) 【答案】C
【解析】因为向量a?(2,0,?1)，向量b?(0,1,?2)，则2aC.
4．已知空间向量m?(3，1，3)，n?(?1，?，?1)，且m//n，则实数??（ ）
A．? 【答案】A
B．(?4,1,?4)
C．(4,?1,0)
D．(4,?1,?4)
?(4,0,?2),则2a?b?(4,?1,0),故选
13
B．?3
C．
1 3 D．6
????3?3??????【解析】因为m//n,故m??n,??R,故?3,1,3?????1,?,?1?,即?1 .故选A
1????????3?5．一个向量p在基底a,b,c下的坐标为?1,2,3?，则p在基底a?b,a?b,c下的坐标为（ ）
????3? A．??，，【答案】B
?31??22??，3? B．?，?3?21?2??，3? C．?，?1?23?2?3? D．??，，?13??22?【解析】因为向量p在基底a,b,c下的坐标为?1,2,3?，所以p?a?2b?3c，设p在基底
?a?b,a?b,c?下的坐标为?x,y,z?，所以p?x?a?b??y?a?b??zc??x?y?a?(x?y)b?zc，
???x?y?13?有?x?y?2?x?，y2?z?3??31?1，z?3，p在基底a?b,a?b,c下的坐标为?,?,3?.故选B. 2?22???6．已知正方体ABCD?A1B1C1D1，点E是上底面A1C1的中心，若AE?AA1?xAB?yAD，则x?y等于
（ ） A．
1 3 B．
1 2
C．1
D．2
【答案】C
【解析】如图，AE?AA1?A1E?AA1?1A1B1?A1D1 2???AA1?111AB?AD?AA1?AB?AD， 222??所以x?y?1， 2所以x?y?1.
故选C
7．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E,F分别是BC,AD的中点，则AE?AF的
为（ ） A．a2 【答案】C 【解析】
B．
12a 2 C．
12a 4 D．
32a 411111AE?AF?(AB?AC)?AD?(AB?AD?AC?AD)??a2cos60??a2cos60???a2．故选
22444C．
8．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1?1，则直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦
值为（ ） A．6 3 B．10 2 C．15 5 D．10 5【答案】D
【解析】以D点为坐标原点，以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),?BC1?(?2,0,1),AC?(?2,2,0),AC为平面BB1D1D的一个法向量．?cos?BC1,AC??410．∴直线BC1与平面BB1DD1所成角的正弦值为?55?810.故选D． 5
9．N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，已知M，点P在线段MN上，且MP?2PN，设向量OA?a，
OB?b，OC?c则OP?（ ）
A．
111a?b?c 666111a?b?c 633
B．a?b?13131c 3C．
D．a?1311b?c 66【答案】C
11【解析】如图所示，连接ON,∵OP?ON?NP，ON?(OB?OC)，所以NP?NM，
23NM?OM?ON，OM?111OA，∴OP?ON?NP?ON?NM＝ON?(OM?ON)￡?233211111111121ON?OM??(OB?OC)??OA?OA?OB?OC?a?b?c.故选C. 333232633633
10．已知点A?1?t,1?t,t?，B?2,t,t?，则A，B两点的距离的最小值为（ ）
A．
310 10 B．
5 5 C．
35 5 D．
3 5【答案】C
【解析】因为点A?1?t,1?t,t?，B?2,t,t?，所以AB?(1?t)2?(2t?1)2?(t?t)2?5t2?2t?2，
2有二次函数易知，当t?1935 ，故选C. 时，取得最小值为 ，?AB的最小值为
55511．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半
圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为
2，则该几何体的体积为（ ） 3
A．16+8π 【答案】A
B．32+16π C．32+8π D．16+16π
【解析】设D在底面半圆上的射影为D1，连接AD1交BC于O，设A1D?B1C1?O1.依题意半圆柱体底面直径BC?4,AB?AC,?BAC?90?，D为半圆弧的中点，所以AD1?BC,A1D?B1C1且O,O1分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接OO1，则OO1与上下底面垂直，所以
OO1?OB,OO1?OA,OA?OB，以OB,OA,OO1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为
h?h?0?， 则B?2,0,0?,D?0,?2,h?,A?0,2,0?,B1?2,0,h?，所以BD???2,?2,h?,AB1??2,?2,h?，
BD?AB12?由于异面直线BD和AB1所成的角的余弦值为，所以
3BD?AB1h28?h2?8?h22，即3?11h2222???2?4??4?2?4?16?8?. .所以几何体的体积为?,h?16,h?42228?h3故选A
12．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，已知点P是正方形AA1D1D内部（不含边界）的一个动点，
若直线AP与平面AA1B1B所成角的正弦值和异面直线AP与DC1所成角的余弦值相等，则线段DP长
《空间向量》章末复习题
