数学《集合与常用逻辑用语》复习知识要点
一、选择题
?1．数列?an?的通项公式为an?n?cn?N．则“c?2”是“?an?为递增数列”的（ ）
??条件． A．必要而不充分 【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知an?1?an?0，解得c?n?B．充要
C．充分而不必要
D．即不充分也不必要
1，由此得到若?an?是递增数列，则23，根据推出关系可确定结果. 2【详解】 c?若“?an?是递增数列”，则an?1?an?n?1?c?n?c?0， 即?n?1?c???n?c?，化简得：c?n?又n?N?，?n?则c?2?221， 2133?，?c?， 222?an?是递增数列，?an?是递增数列?c?2，
?“c?2”是“?an?为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A. 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p：?x0?(1,??)，
x0?0，则?p：?x?(1,??)，x?0； x0?2x?2②p?q为真命题是p?q为真命题的充分不必要条件； ③若ac2?bc2，则a?b的逆命题为真命题； A．3 【答案】C 【解析】 【分析】
对三个命题逐一判断即可. 【详解】
B．2
C．1
D．0
，???，①中?p：?x??1②为真命题；
x?0或x?2，所以①为假命题； x?2③中逆命题为：若a?b，则ac2?bc2，若c为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C. 【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
3．已知集合P?x0?lgx?2lg3，Q??xA．?0,2? 【答案】D 【解析】 【分析】
集合P,Q是数集，集合P是对数不等式解的集合，集合Q是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：P?x1?x?9，Q?x0?x?2；
B．?1,9?
????2?1?，则PIQ为( )
?2?x?C．?1,4?
D．?1,2?
?????P?Q??1,2?.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0?a?1和a?1 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
4．已知m为实数，直线l1：mx?y?1?0，l2：?3m?2?x?my?2?0，则“m?1”是“l1//l2”的（ ） A．充要条件 C．必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l1∥l2?由由
3m?2m?2??， m1?13m?2m?得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2， m1m?2?得m≠2，则m=1， 1?1即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线a1x?b1y?c1?0和直线a2x?b2y?c2?0平行，则a1b2?a2b1?0且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
5．已知命题p:?m?R，m?1?0，命题q:?x?R，x2?mx?1?0恒成立，若p，q至少有一个是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．?2,?1? 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可判断命题p为真命题，所以可得命题q必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】
因为p，q中至少有一个为假命题，而命题p:?m?R，m?1?0为真命题； 所以命题q必定为假命题，所以??m2?4?1?0，解得m??2或m?2. 又命题p:?m?R，m?1?0为真命题，所以m??1，于是m??2. 故选：B. 【点睛】
本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
?B．???,?2?
C．?2,?1
??D．??1,???
6．下列命题为真命题的个数是（ ）
①?x?xx是无理数}，x2是无理数；
rrrrrr②若a?b?0，则a?0或b?0；
ex?e?x④函数f?x??是偶函数.
xA．1 【答案】B 【解析】 【分析】
B．2
?③命题“若x2?y2?0，x?R，y?R，则x?y?0”的逆否命题为真命题；
C．3 D．4
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x?2时，x2?2为有理数，故①错误；
rrrrrrrr对于②中，若a?b?0，可以有a?b，不一定要a?0或b?0，故②错误；
22对于③中，命题“若x?y?0，x?R，y?R，则x?y?0”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
e?x?exex?e?x对于④中，f??x????f?x?，
?xx且函数的定义域是(??,0)U(0,??)，定义域关于原点对称， ex?e?x所以函数f?x??是偶函数，故④正确.
x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
7．下列四个结论中正确的个数是
2（1）对于命题p:?x0?R使得x0?1?0，则?p:?x?R都有x2?1?0；
2（2）已知X:N(2,?)，则 P(X?2)?0.5
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
??2x?3； y（4）“x?1”是“x?A．1 【答案】C
1?2”的充分不必要条件. xB．2
C．3
D．4
【解析】 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题p:?x0?R使得
2x0?1?0，则?p:?x?R都有x2?1?0，是错误的；
（2）中，已知X?N2,??2?，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x?2，所
以 P(X?2)?0.5是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
??2x?3是正确； 和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为y（4）中，当x?1时，可得x?所以“x?1”是“x?【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
111?2x??2成立，当x??2时，只需满足x?0，
xxx1?2”成立的充分不必要条件． x
8．给出下列说法： ①定义在?a,b?上的偶函数②“x?
f?x??x2??a?4?x?b的最大值为20；
?4
”是“tanx?1”的充分不必要条件；
③命题“?x0??0,???，x0?其中正确说法的个数为（ ） A．0 【答案】D 【解析】 【分析】
B．1
1?2”的否定形式是“?x??0,???，x?1?2”． x0xC．2
D．3
根据偶函数的定义求得a、b的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程
tanx?1，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断
③的正误.综合可得出结论. 【详解】
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