第九章 半角模型
模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 已知如图： ② ∠2=12∠AOB；
②OA=OB。
连接F′B，将△FOB绕点O旋转 至△FOA的位置，连接F′E、FE， 可得△OEF′≌△OEF。
1
O123FEABO4F'123FEAB
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。 模型实例 【模型分析】
例1．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、 CD上的点，且BE+FD=EF。求证：∠EAF=1∠BAD。
2
BEADFC2
例2．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD,E、F分别是BC、CD延长 线上的点，且∠EAF=1∠BAD。求证：EF=BE-FD。
2AFBDCE3
例3．在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点， 且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC
上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； （2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。
BDMNCBD2AMANC图1图4
例4．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N 分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。
（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN 三者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN
三者之间的数量关系。
AMOBANCNMOCNMOB2C图1图A图3B5
角含半角模型
