2024年中考数学考点提分专题十九以三角形为背景的证明与计算（解析版）
考点分析
（2024·山东中考真题）如图，已知等边?ABC，CD?AB于D，AF?AC，E为线段CD上【例1】
一点，且CE?AF，连接BE，BF，EG?BF于G，连接DG．
（1）求证：BE?BF；
（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．
（2024·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究. 【例2】
（一）猜测探究
在?ABC中，AB?AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与?BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出?NAB与?MAC的数量关系是 ，NB与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是?CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二）拓展应用
oo如图3，在?A1B1C1中，A1B1?8，?A1B1C1?60，?B1A1C1?75，P是B1C1上的任意点，连接A1P，
将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75o，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．
考点集训
1．（2024·湖北中考真题）如图，在?ABC中，D是BC边上的一点，AB?DB，BE平分?ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：?ABE??DBE；
（2）若?A?100?，?C?50?，求?AEB的度数．
2．（2024·浙江中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，
（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
3．（2024·天津）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtRt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P． （1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ；
（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
4．（2024·江西初二期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥
直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=?,其中?为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
5．（2024·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是?BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证?AEB≌?FEC得到AB?FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是?BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
6．（2024·江苏初二期中）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
7．（2024·江苏中考真题）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE?AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得?CAF??BAE，连接EF，EF与AC交于点G (1)求证：EF?BC；
(2)若?ABC?65?，?ACB?28?，求?FGC的度数.
8．（2024·江苏中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：（1）?DBC??ECB （2）OB?OC
9．（2024·江苏中考真题）如图，?ABC中，∠C?90o，AC?4，BC?8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长． 10．（2024·湖北初二期中）（问题提出）
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明：AB=DB+AF （类比探究）
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
11．（2024·浙江中考真题）如图，在△ABC中，AC ⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：?APC2?B； ⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若?AQC3?B，求DB的度数. 12．（2024·山东初三）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________． （2）类比思考： 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，
2024年中考数学考点提分专题十九以三角形为背景的证明与计算(解析版)
