m2g?T2?m2a2(4) T2?m1gsin??m1a2(5) 1?t?l?a2??(6) 2?3?由 (1)、(2) 式注意到? =30°得
2a1?2m1?m2g(7)
2?m1?m2?由 (4)、(5) 式注意到? =30°得
a2?2m2?m1g(8)
2?m1?m2?由 (3)、(6) 式得
a2(9) 9由 (7)、(8)、(9) 式可解得 a1?m111(10) ?m219
评分标准
本题15分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各2分，求得（10）式再给3分
三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l的极板区域所需的时间
t1?lv0(1)
当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE方向垂直于极板由C指向D，电子的加速度
a?而
qE (2) mU (3) dE?因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t1内垂直于极板方向的位移
y1?12at1 (4) 2电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度
vy?at1 (5)
域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为t2
t2??L?l2?v0(6)
在t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移
y2?vyt2 (7)
P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移
y?y1?y2(8)
由以上各式得电子的荷质比为
2dqv0?y(9) mUlL加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即
qE?qv0B(10)
注意到 (3) 式，可得电子射入平行板电容器的速度
v0?代入(9)式得
U (11) BdqU?2y (12) mBlLd代入有关数据求得
q?1.6?1011C/kg (13) m评分标准
本题15分．（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，（10）式3分，（12）、（13）式各2分．
四、如图所示，圆为地球赤道，S为卫星所在处，用R表示卫星运动轨道的半径．由万有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期T（亦即地球自转周期）可得
O R0 ??Mm?2π?G2?mR?? (1) R?T?式中M为地球质量，G为引力常量，m为卫星质量．
另有
2GM?R0g(2)
2R 由图可知
Rcos??R0(3)
由以上各式，可解得
S ?4π2R0????arccos??T2g???13(4)
取T = 23小时56分4秒（或近似取T = 24小时），代入数值，可得
??81.3?（5）
由此可知，卫星的定位范围在东经135.0??81.3??53.7?到75.0??81.3??156.3?之间的上空． 评分标准
本题15分．（1）、（2）、（3）式各2分，(4) 、(5)式共2分，得出最后结论再给7分．
五、用E和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知
E?Bl?v2?v1? (1)
E(2) 2R令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则
F?IBl (3)
令a1和a2分别表示ab杆、cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知
I?F?ma1 (4) Mg?T?ma2
(5)
T?F?ma2(6)
由以上各式解得
B2l2?v2?v1?(7) a1?2Rm2MgR?B2l2?v2?v1?a2?(8)
2?M?m?R评分标准
本题15分．（1）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，（7）、(8)式各2分． 六、把酒杯放平，分析成像问题．
A r
i θ P?α β O C P n1 n0=1 图1
1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1．在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成??角的另一光线PA在A处折射．设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为??，由折射定律和几何关系可得?
n1sini?n0sinr????
??i???2??
在△PAC中，由正弦定理，有
RPC ?3? ?sin?sini考虑近轴光线成像，?、i、r都是小角度，则有
r?n1i(4) n0??RPCi(5)
由 (2)、(4)、(5) 式、n0、n1、R的数值及PC?PO?CO?4.8cm，可得
??1.31i ?6?
r?1.56i ???
由?6?、???式有??????????????????????r??????
由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P?，P?即为P点的实像．画面将成实像于P?处．
在△CA P＇中，由正弦定理有
RCP?? (9) sin?sinr又有 r???? ?????考虑到是近轴光线，由?9)、????式可得
CP??又有
rR (11) r??OP??CP??R (12)
由以上各式并代入数据，可得
OP??7.9cm(13)
由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处．已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物．
2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有
r?n1i (14) n2P?A r θ Oβ 代入n1和n2的值，可得 C P n1 r?1.16i ?15? n2 与???式比较，可知
图2 r?? ?16?
由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P?，P?即为P点的虚像．画面将成虚像于P?处．计算可得
??i CP??又有
rR (17) ??rOP??CP??R (18)
由以上各式并代入数据得
OP?＝13cm （19）
由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P＇处，距O点13cm．即距杯口21cm．虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像． 评分标准:
本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（19）式，给5分，说明“看到”再给3分．
A
O 七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB．若以B为参考系，从B??R vB 观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA．杆相对地面的速度是杆相对
碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得
B VA vA VAsin??vA (1) VAcos??vB(2)
因而
vB?vAcot? (3)
由能量守恒
mAgRcos??1122(4) mAvA?mBvB22由(3)、(4) 两式及mB?2mA得
vA?sin?2gRcos? (5) 21?cos?2gRcos? (6)
1?cos2?vB?cos?评分标准：
15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）两式各2分．
10? 八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题
图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路．B、C右B 20V 方的电路又可简化为图2的电路，其中RB?C?是虚线右方
电路的等效电阻．由于B?、C?右方的电路与B、C右方30? RBC 的电路结构相同，而且都是无穷组合电路， 故有
10V 24V C 18? 图1 B 1.0? B?RB?C?
2.0? C C?
图2
全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
