大学工科数学分析期末考试_(答案)A

20XX年复习资料

大 学 复 习 资 料

专 业： 班 级： 科目老师：

日 期：

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一、 填空题

(y?x)f2'??(x?y),?(xy)???'(xy)；1.?2； 2．； 3．y(4)?2y????2y???2y??y?0； 4． （2，3，4）5．

3?

二、 选择题

6. (D) 7．(A) 8．（D） 三、

9 解：设?0:z?0 (x2?y2?1)，取下侧，则

???xdydz?xzdzdx??????设?:x2?y2?z2?1 (z?0)，可得

0xdydz?xzdzdx???xdydz?xzdzdx.……… (3

?0分)

?????同时，???分)

所

2??302xdydz?xzdzdx????1?dxdydz?V(?)???03.…………… (6分)

…………………………………………………… (8xdydz?xzdzdx?0，

以原式

.…………………………………………………………………… (20XXXX分)

20XXXX. 解：利用极坐标变换

I??d??rcos?sin?F\rrdr??2cos?sin?d??r3F''r2dr?20000?12??2?1??113rF\r2dr，………… (5?02??分)

令t?r2，则

I?111111?11tF\tdt?tdF't?F'1?F'?t?dt???F'?1??F?1??F?0????????????????40?40404?4.…………

(20XXXX 分)

20XXXX. 解：设t?x2?y2，原方程化为u''(t)?u(t)?t2……… (4)

解之得u?C1cost?C2sint?t2?2……………………………… (9分) 故u?C1cos分)

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x2?y2?C2sinx2?y2?x2?y2?2…………………………… (20XXXX

20XXXX 解：在曲面?上，有cos??x1?x2?y2，cos???11?x2?y2x?z，因此 ……(2分)

??dS1?x2?y2???1???z?2??xdydz?zdxdy????z2?xcos??zcos??dS????z2?x???????????1?x2?y2……(5

分)

??1??????x2?y2Dxy??4??2?1??x????x??x2?y2?dxdy.2???? ……(7分)

……(20XXXX

?2?2?212??2122?2x?x?ydxdy?d?rcos??r?rdr?8??????0?0??22???Dxy??分)

20XXXX. 解 解得特征根为?1?0，?2?1，?3?2 ……………… (2分)

?1??2??1???????对应的特征向量是r1??0?,r2??2?,r3??2?,……………… (5分)

?2??1??0????????12et?所以通解为：X(t)??02et?2et?e2t??2t2e?0???c1????c2?． ………………… (7分) ?c??3??x1(t)?1/2?e2t/2?c1?1/2??代入初值条件得?c2?0，特解为：?x2(t)?e2t．……… (20XXXX

?x(t)?1?c?1/2?3?3分)

20XXXX.

因为积分与路径分)

1无关，所以

???2x,?x即

?(x,y)?x2?c(y). …………………………(3

(t,1)1又 ?(0,0)2xydx??(x,y)dy??0[t2?c(y)]dy?t2??0c(y)dy

?(0,0)2xydx??(x,y)dy??0[1?c(y)]dy?t??0c(y)dy

则 t2??0c(y)dy?t??0c(y)dy， …………………………(7分)

两边同时求导可得2t?1?c(t)?c(y)?2y?1.

因此 ?(x,y)?x2?2y?1 .…………………………(20XXXX分)

1t(1,t)tt

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