专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的旧教材相比,这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世界的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
“抽屉原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“抽屉原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中,应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2.提高学生解决简单的实际问题的能力。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用,感受数学的魅力。
1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学
生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。
2.有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体问题时,能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,是解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴;再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思维和能力的重要体现。
3.要适当把握教学要求。“抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。因此,用“抽屉原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如,有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”。因此,教学时,不必过于要求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就可以了,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
1 鸽巢问题 1课时
2 “鸽巢问题”的具体应用 1课时
鸽巢问题
教材第68、第69页。
1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
铅笔、笔筒、书等。
师:同学们,老师给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大小王,还剩52张牌,请5个同学上来,每人随意抽一张,我知道至少有2人抽到的是同花色的,相信吗?试一试。
师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。
师:想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。
【设计意图:紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始,激活认知热情。使学生积极投入到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】
1. 讲授例1。
(1)认识“抽屉原理”。(课件出示例题)
把4支铅笔放进3个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。
学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。
教师指出:上面这个问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给出证明。
(2)学生分小组活动进行证明。 活动要求:
①学生先独立思考。
②把自己的想法和小组内的同学交流。
③如果需要动手操作,要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记录等)
④在全班交流汇报。 (3)汇报。
师:哪个小组愿意说说你们是怎样证明的? ①列举法证明。
学生证明后,教师提问:把4支铅笔放进3个笔筒里,共有几种不同的放法?
(共有4种不同的放法。在这里只考虑存在性问题,即把4支铅笔不管放进哪个笔筒,都视为同一种情况)
根据以上4种不同的放法,你能得出什么结论?(总有一个至少放进2支铅笔)
②数的分解法证明。
可以把4分解成三个数,共有四种情况:(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于2的。
③反证法(或假设法)证明。
让学生试着说一说,教师适时指点: 假设先在每个笔筒里放1支铅笔。那么,3个笔筒里就放了3支铅笔。还剩下1支铅笔,放进任意一个笔筒里,那么这个笔筒里就有2支铅笔。
(4)揭示规律。 请同学们继续思考:
①把5支铅笔放进4个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么?
②如果把6支铅笔放进5个笔筒中,结果是否一样呢?把7支铅笔放进6个笔筒中呢?把10支铅笔放进9个笔筒中呢?把100支铅笔放进99个笔筒中呢?
学生回答的同时教师板书:
数量(支) 笔筒数(个) 结果 5 总有一个笔筒里
提问:观察板书,你有什么发现?
③小组讨论,引导学生得出一般性结论。
(只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2支铅笔)
追问:如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多3,多4呢? 学生根据具体情况思考并解决此类问题。 ④教师小结。
上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理”,可以概括为:把m个物体任意放到m-1个抽屉里,那么总有一个抽屉中至少放进了2个物体。
2.教学例2。
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么?自己想一想,再跟小组的同学交流。
学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况。 组织全班交流,学生可能会说:
?我们可以动手操作,选用列举的方法:
第一个抽7 6 5 4 3 3
屉
第二个抽0 1 1 1 1 2
屉
第三个抽0 0 1 2 3 2
屉
通过操作,我们把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书。
?我们可以用数的分解法:把7分解成三个数,有(7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2)这样六种情况。在任何一种情况中,总有一个数不小于3。
师:同学们,通过上面两种方法,我们知道了把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本书增多,数据变大,如果有8本书会怎样呢?10本呢?甚至更多呢?用列举法、数的分解法会怎样?(繁琐)我们能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢?请同学们自己想一想。
学生进行独立思考。
师:假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢?
生:7÷3=2……1
师:有余数的除法算式说明了什么问题?
生:把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本
书。
师:如果有8本书会怎样呢?
生:8÷3=2……2,可以知道把8本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩2本;把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。
师:10本书呢?
生:10÷3=3……1,可知把10本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放3本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放4本书。
师:你发现了什么?
师生共同小结:要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c(c≠0),那么一定有一个抽屉至少放(b+1)个物体。
【设计意图:在渗透研究问题、探索规律时,先从简单的情况开始研究。证明过程中,展示了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相学习、触类旁通,又建立“建模”思想,突出了学习方法】
师:通过今天的学习,你有什么收获?
生:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。
师:你能在生活中找出这样的例子吗? 学生举例说明。
师:之所以把这个规律称之为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题,研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧!
【设计意图:研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后,请学生总结这节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】
鸽巢问题
1.学生对“至少”理解不够,给“建模”带来了一定的难度。 2.培养学生的问题意识,借助直观操作和假设法,将问题转化成“有余数的除法”形式,可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。
3.经历将具体问题“数学化”的过程,有利于提高学生的数学思维能力,让学生在运用新学知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中,进一步体验数学的价值,感受数学的魅力,培养学习数学
新六年级数学下册第五单元教案
