高中数学必修5全册学案（整理含答案）
1.1.1 正弦定理(1)
【学习目标】
1．通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理.
2．能够利用向量方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的简单问题. 【重点难点】
1．重点:正弦定理的发现,证明及其简单应用. 2．难点:正弦定理的应用. 【学习过程】 一、自主学习：
任务1:在直角三角形中三角形的边与角之间有什么数量关系呢?
__________________________________________________.
任务2:在问题1中发现的关系式对一般的三角形是否成立呢? 正弦定理:_________________________. 二、合作探究归纳展示
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有
abc?sinA，?sinB，又sinC?1?， cccabc． ??sinAsinBsinC
从而在直角三角形ABC中，
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义， 有CD=asinB?bsinA，则同理可得从而
ab， ?sinAsinBcb， ?sinCsinB
cab． ??sinAsinBsinC类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你推试导. 三、讨论交流点拨提升
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
cab． ??sinAsinBsinC
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA， ，c?ksinC； （2）
cacabcb等价于 ，，． ????sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?bsinA；b? ． sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
a如sinA?sinB；sinC? ．
b（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 例1. 在?ABC中，已知A?45，B?60，a?42cm，解三角形．
变式：在?ABC中，已知B?45，C?60，a?12cm，解三角形．
例2. 在?ABC中，c?6,A?45,a?2,求b和B,C．
变式：在?ABC中，b?3,B?60,c?1,求a和A,C．
四、学能展示课堂闯关 知识拓展
abc???2R，其中2R为外接圆直径 sinAsinBsinC
1. 在?ABC中，若
cosAb?，则?ABC是（ ）. cosBaA．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4， 则a∶b∶c等于（）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶3 D．2∶2∶3 3. 在△ABC中，若sinA?sinB，则A与B的大小关系为（ ）. A. A?B B. A?B
C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定
4. 已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，则a:b:c= ． 5. 已知?ABC中， A?60?，a?3，则
a?b?c= ．
sinA?sinB?sinC五、学后反思 1. 正弦定理：
cab ??sinAsinBsinC2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
【课后作业】
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120?，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．
高中数学必修5全册学案(整理含答案)
