GeoGebra软件在高中数学教学中的应用探究
200234 上海师范大学数理学院 项 俊
【摘 要】数学教育技术在高中数学教学中的广泛应用是数学课程改革的目标之一.笔者阐述GeoGebra软件的优越性，对GeoGebra软件在高中数学解析几何、统计两方面的应用进行探究，对高中数学教学进行反思，从而提高教师的教学效率，培养学生自主探究的意识，激发学生学习数学的兴趣. 【期刊名称】上海中学数学 【年(卷),期】2019(000)004 【总页数】3
【关键词】数学教育技术；GeoGebra软件；高中数学教学；自主探究
一、 GeoGebra软件概述[1]
GeoGebra软件是由美国佛罗里达州亚特兰大大学数学系教授Markus Hohenwarter设计的动态数学教育软件，其名称由“Geo”+“Gebra”组成，从表面上看，它同时具有几何(Geometry)与代数(Algebra，也包括微积分)两大功能，实际上，GeoGebra是一个结合了几何、代数、微积分、数据表、图形、统计和计算的多功能动态数学软件.
二、 GeoGebra软件的优越性
(一)操作简单，功能强大
一款好的教学软件能够被广泛应用，操作简单是其首要条件.GeoGebra软件的界面丰富，即使没有软件指南的指导，对于稍有数学软件基础的人来说，也可以进行简单的教学操作.在数学教学中，函数图像往往要通过改变参数来探究图像的性质，GeoGebra软件可以通过移动参数滑杆来改变某个参数值[2]，帮助
教师在课堂上节省时间，提高数学教学质量；GeoGebra软件还可以实现曲线拟合的功能，建立回归模型，解决生活生产等实际问题. (二)几何代数完美融合[3]
GeoGebra软件实现了几何与代数的同步变化，代数区与绘图区的设置，能直观地呈现动态演示的过程.如在GeoGebra软件中输入圆锥曲线方程可以直接显示相应图像，而传统的几何画板则仅有形的变化，没有数的变化. (三)软件易于二次开发
在众多的作图软件中，有些软件存在很多难以解决的问题，如不能实现动态演示，或难以二次开发、收费昂贵，但GeoGebra 作为一款基于Java语言的软件，易于编写和二次开发.
三、 GeoGebra软件在高中数学教学中的应用
(一)GeoGebra软件在解析几何中的应用
GeoGebra软件在高中数学解析几何中应用广泛，尤其在探究圆锥曲线的轨迹、定值等问题中发挥着重要的作用.笔者以GeoGebra软件探究圆锥曲线轨迹问题为例进行阐述.
案例 探究点M在怎样的平面区域内，存在一条过点M的直线，使该直线与双曲线的两个交点A、B所构成的线段AB的中点恰为点M.
分析：本题是高中数学解析几何部分的探究问题，研究圆锥曲线中的双曲线中点轨迹问题.一般来说，教师通过探究各类圆锥曲线中点轨迹的问题，加深学生对圆锥曲线性质的认识.在本案例中，要探究点M在哪些平面区域内，直线l是存在的.对于双曲线，教师在课堂上要强调渐近线，因为渐近线是双曲线中的一个重要性质，在探索轨迹问题中扮演着重要“角色”，题目要求探究点M的平
面区域，教师可以运用GeoGebra软件引导学生通过取特殊点M的方法，动态演示线段AB的中点E的轨迹，让学生观察，初步猜想点M的平面区域，进而不断改变点M的位置，让学生感知，验证猜想，最后得出结论.
GeoGebra软件操作要点：(1)在输入框中输入“x^2-0.25y^2=1”为双曲线c，并输入“(0.5，2)”(该点位于渐近线上方)，命名为点M，过点M作直线l；(2)选取直线l与双曲线c，运用“交点”命令构造直线l与双曲线c的交点A、B；(3)选取点A、点B，运用“中点”命令取AB的中点E；(4)跟踪点E，拖动直线l，在拖动的过程中，代数区可见点M与点E有重合的情况，如图1所示. 改变要点(1)中点M的坐标，分别为(1.2，2)(该点位于渐近线与双曲线之间，如图2所示)、(1，2)(该点位于渐近线上，如图3所示)、(1.1，0.92)(该点位于双曲线上，如图4所示)，观察在拖动的过程中，点M与点E是否有重合的情况.
点评：本案例如果用代数的方法解决，学生容易掉入命题者所设的“陷阱”，代数方法很容易忽视点A、点B在双曲线上的条件限制，同时会导致学生对于点M的位置变化没有直观的印象.笔者通过GeoGebra软件进行直观演示，让学生理解题目的本质，培养学生数形结合的思想.学生在观察软件演示的过程中会发现，在拖动直线l的过程中，只要点M不在渐近线和双曲线之间(包含渐近线与双曲线)的平面区域时，线段AB中点轨迹在跟踪过程中就会与点M有重合情况，进而可以推出点M在此区域内，直线l都是存在的，从特殊到一般，开阔了学生的解题思路.
案例推广 试想一下，既然双曲线存在这样的轨迹问题，那么椭圆、抛物线是否也存在类似的轨迹问题呢？
GeoGebra软件在高中数学教学中的应用探究
