立体几何空间向量知识点总结
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知识点拨: 1、空间向量得概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法得平行四边形法则,三角形法则以及相关得运算律仍然成立.空间向量得数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都就是平面向量在空间中得推广,空间向量基本定理则就是向量由二维到三维得推广.
2、当、为非零向量时.就是数形结合得纽带之一,这就是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直得关键,通常可以与向量得运算法则、有关运算律联系来解决垂直得论证问题。 3、公式就是应用空间向量求空间中各种角得基础,用这个公式可以求两异面直线所成得角(但要注意两异面直线所成角与两向量得夹角在取值范围上得区别),再结合平面得法向量,可以求直线与平面所成得角与二面角等. ４、直线得方向向量与平面得法向量就是用来描述空间中直线与平面得相对位置得重要概念,通过研究方向向量与法向量之间得关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等得位置关系以及有关得计算问题.
5、用空间向量判断空间中得位置关系得常用方法 (1)线线平行
证明两条直线平行,只需证明两条直线得方向向量就是共线向量.
(2)线线垂直
证明两条直线垂直,只需证明两条直线得方向向量垂直,即、
(３)线面平行
用向量证明线面平行得方法主要有:
①证明直线得方向向量与平面得法向量垂直;
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量就是共线向量;
③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线得方向向量.
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直得方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行;
②利用线面垂直得判定定理转化为线线垂直问题.
(5)面面平行
①证明两个平面得法向量平行(即就是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题.
(６)面面垂直
①证明两个平面得法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式,
但务必注意两异面直线所成角θ得范围就是, 故实质上应有:、
(2)求线面角
求直线与平面所成角时,一种方法就是先求出直线及射影直线得方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法就是借助平面得法向量,先求出直线方向向量与平面法向量得夹角φ,即可求出直线与平面所成得角θ,其关系就是sｉnθ=｜ ｃosφ｜。
(３)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法:一种方法就是利用平面角得定义,在两个面内先求出与棱垂直得两条直线对应得方向向量,然后求出这两个方向向量得夹角,由此可求出二面角得大小;另一种方法就是转化为求二面角得两个面得法向量得夹角,它与二面角得大小相等或互补。
7、运用空间向量求空间距离
空间中得各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面得距离、
(１)点与点得距离
点与点之间得距离就就是这两点间线段得长度,因此也就就是这两点对应向量得模.
(2)点与面得距离
点面距离得求解步骤就是:
①求出该平面得一个法向量;
②求出从该点出发得平面得任一条斜线段对应得向量;
③求出法向量与斜线段向量得数量积得绝对值再除以法向量得模,即得要求得点面距离.
备考建议: 1、空间向量得引入,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系得问题,应体会向量方法在研究几何图形中得作用,进一步发展空间想像能力与几何直观能力、
２、灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题。
3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线得方向向量与平面得法向量有着举足轻重得地位与作用,它得特点就是用代数方法解决立体几何问题,无需进行繁、难得几何作图与推理论证,起着从抽象到具体、化难为易得作用。因此,应熟练掌握平面法向量得求法与用法.
4、加强运算能力得培养,提高运算得速度与准确性.
第一讲 空间向量及运算
一、空间向量得有关概念 １、空间向量得定义
在空间中,既有大小又有方向得量叫做空间向量、注意空间向量与数量得区别.数量就是只有大小而没有方向得量。 2、空间向量得表示方法
空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段得长度表示向量得大小,用有向线段得方向表示向量得方向.若向量对应得有向线段得起点就是A,终点就是B,则向量可以记为,其模长为或。 3、零向量
长度为零得向量称为零向量,记为。零向量得方向不确定,就是任意得。由于零向量得这一特殊性,在解题中一定要瞧清题目中所指向量就是“零向量”还就是“非零向量”. 4、单位向量
模长为1得向量叫做单位向量、单位向量就是一种常用得、重要得空间向量,在以后得学习中还要经常用到. 5、相等向量
长度相等且方向相同得空间向量叫做相等向量。若向量与向量相等,记为＝.零向量与零向量相等,任意两个相等得非零向量都可以用空间中得同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起点无关. 6、相反向量
长度相等但方向相反得两个向量叫做相反向量.得相反向量记为- 二、共面向量 １、定义
平行于同一平面得向量叫做共面向量。 2、共面向量定理 若两个向量、不共线,则向量与向量、共面得充要条件就是存在实数对x、ｙ,使得＝。 ３、空间平面得表达式
空间一点P位于平面MAB内得充要条件就是存在有序实数对x、ｙ使或对空间任一定点O,有或(其中)这几个式子就是M,A,Ｂ,Ｐ四点共面得充要条件。 三、空间向量基本定理 １、定理
如果三个向量、、不共面,那么对空间任一向量,存在唯一得有序实数组x、y、z,使= 2、注意以下问题
(1)空间任意三个不共面得向量都可以作为空间向量得一个基底.
(２)由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不就是。
(3)一个基底就是指一个向量组,一个基向量就是指基底中得某一个向量,两者就是相关联得不同概念、
由空间向量得基本定理知,若三个向量、、不共面。那么所有空间向量所组成得集合就就是,这个集合可瞧做就是由向量、、生成得,所以我们把称为空间得一个基底、、、叫做基向量,空间任意三个不共面得向量都可构成空间得一个基底. 3、向量得坐标表示 (1)单位正交基底
如果空间得一个基底得三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用表示、
(２)空间直角坐标系
在空间选定一点Ｏ与一个单位正交基底以点O为原点,分别以、、得方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴、则建立了一个空间直角坐标系O—xyｚ,点O叫原点,向量、、都叫坐标向量. (3)空间向量得坐标
给定一个空间直角坐标系与向量,且设、、为坐标向量,存在唯一有序数组(x,ｙ,z)使,有序数组(ｘ,y,z)叫做在空间直角坐标系O—xyz中得坐标,记为=。
对坐标系中任一点A,对应一个向量,则=。在单位正交基底、、中与向量对应得有序实数组(x,y,z),叫做点Ａ在此空间直角坐标系中得坐标,记为Ａ(x,y,z)。 四、空间向量得运算 1、空间向量得加法
三角形法则(注意首尾相连)、平行四边形法则, 加法得运算律:交换律 结合律
2、空间向量得减法及几何作法
几何作法:在平面内任取一点O,作,则,即从得终点指向得终点得向量,这就就是向量减法得几何意义。
3、空间向量得数乘运算 (１)定义
实数与得积就是一个向量,记为,它得模与方向规定如下: ①
② 当时,与同向;当时,与异向;当时、 注意:
① 关于实数与空间向量得积得理解:我们可以把得模扩大(当〉１时),也可以缩小(＜ 1 时),同时,我们可以不改变向量得方向(当时),也可以改变向量得方向(当时)。 .
② 注意实数与向量得积得特殊情况,当时,;当,若时,有。
③ 注意实数与向量可以求积,但就是不能进行加减运算.比如,无法运算。 (2)实数与空间向量得积满足得运算律 设λ、μ就是实数,则有 (结合律) (第一分配律) (第二分配律)
实数与向量得积也叫数乘向量、 4、共线向量 (1)共线向量定义
若表示空间向量得有向线段所在得直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,也叫做平行向量、若与就是共线向量,则记为//。
注意:零向量与空间任一向量就是共线向量、 (２)共线向量定理
对空间任意两个向量、(≠),/／得充要条件就是存在实数λ使＝λ (３)空间直线得向量表示式
如果直线 ｌ 就是经过已知点 A 且平行于已知非零向量得直线,那么对任一点 Ｏ,点Ｐ在直线 l 上得充要条件就是存在实数t,满足等式,其中向量叫做直线 l 得方向向量、
注意:
①若在 l 上取,则有
OP?OA?tAB,?OP?OA?tOB?OA?(1?t)OA?tOB
??B?OA?(1?t)OA?tOB?
②上式可解决三点P、A、B 共线问题得表示或判定. ③当时,,点P为ＡB得中点,这就是中点公式得向量表达式、 ④ 若P分所成比为,则 ５、空间直角坐标系
在空间直角坐标系中,三条坐标轴两两互相垂直,轴得方向通常这样选择:从z轴得正方向瞧,x轴正半轴沿逆时针方向转 900能与 y 轴得正半轴重合。让右手拇指指向 x 轴正方向.食指指向 y 轴得正方向,如果中指指向 z 轴得正方向,那么称这个坐标系为右手直角坐标系。一般情况下,建立得坐标系都就是右手直角坐标系、
在平面上画空间直角坐标系 Ｏ—ｘyz 时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=９0°。
空间两点间得距离公式就是平面上两点间距离公式得推广,就是空间向量模长公式得推广,如果知道儿何体上任意两点得坐标。我们就可直接套用、
设,则 特别地,P1(ｘ,ｙ,z)到原点得距离 ６、空间向量得数量积运算
? 其中得夹角,范围就是[0,π],注意数量积得性质与运算律。 1. 性质 若就是非零向量,就是与方向相同得单位向量,θ就是得夹角,则 (1) (2)
?(3)若同向,则; 若反向,则; 特别地: (4)若θ为
(5)
2. 运算律 (1)结合律 ?(2)交换律 (3)分配律
?不满足消去律与结合律即: ?
【典型例题】
例１、 已知P就是平面四边形ABCD所在平面外一点,连结PＡ、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为△PAB、△ＰＢC、△ＰCD、△PDＡ得重心。求证:E、F、G、Ｈ四点共面。 证明:分别延长PE、ＰF、PG、PH交对边于M、N、Q、R ?∵E、F、G、H分别就是所在三角形得重心
?∴M、N、Q、R为所在边得中点,顺次连结MＮＱR所得四边形为平行四边形,且有
?∵ＭNQR为平行四边形,则
空间向量与立体几何知识点
