模拟试题（一）参考答案
一.单项选择题（每小题2分,共16分）
1、设A, B为两个随机事件,若P(AB)?0,则下列命题中正确的是（ ） (A) A与B互不相容 (C) P(A)?0或P(B)?0
(B) A与B独立
(D) AB未必是不可能事件
解 若AB为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.
2、设每次试验失败的概率为p,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）
1(A) 3(1?p) (B) (1?p)3 (C) 1?p3 (D) C3(1?p)p2
解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为,故所求概率为1?p3.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.
3、若函数y?f(x)是一随机变量的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) f(x)非负 (B) f(x)的值域为[0,1] (C) f(x)单调非降
????(D) f(x)在(??,??)内连续
解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,f(x)是定义在(??,??)上的非负函数,且满足
?11f(x)dx?1,所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从[,]上的均匀分布的随机变量的概
32率密度
11??6,?x?,f(x)??32
?其他?0,在x?11与x?处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 324、若随机变量X的概率密度为f(x)?(A)
1X?32
(B)
X?322?X?3 (C)
22,令Y?e?(x?3)24 (???x???),则Y?（ ）~N(0,1)
(D)
X?3 2解的数学期望EX??3,方差DX?X?32,则其服从标准正态分布.故本题应选A.
5、若随机变量X, Y不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) cov(X,Y)?0 (C) DXY?DX?DY 解 因为??0,故
(B) D(X?Y)?DX?DY(D) EXY?EX?EY
cov(X,Y)??DX?DY?0,
D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?DX?DY,
但无论如何,都不成立DXY?DX?DY.故本题应选C.
6、设样本X1,X2,???,Xn取自标准正态分布总体,又X, S分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) X~N(0,1)
n
(B) nX~N(0,1)(D)
(C)
?Xi2~?2(n)
i?1X~t(n?1) S解X~N(0,),nX~N(0,n),
1nn?X~t(n?1),只有C选项成立.本题应选C. S7、样本X1,X2,?,Xn(n?3)取自总体,则下列估计量中,（ ）不是总体期望的无偏估计量 (A)
?Xi?1ni
(B)
(D) X1?X2?X3
(C) 0.1(6X1?4Xn)
解 由无偏估计量的定义计算可知,
?Xi?1ni不是无偏估计量,本题应选A.
8、在假设检验中,记为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 成立,经检验接受 (B) 成立,经检验拒绝 (C) 不成立,经检验接受 (D) 不成立,经检验拒绝 解 弃真错误为第一类错误,本题应选B. 二.填空题（每空2分,共14分）
1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解
13;. 881,则X的概率密度为________. 32、设随机变量X服从一区间上的均匀分布,且EX?3, DX?a?b(b?a)21?3, DX??,解得a?2, b?4, 解 设X~[a,b],则EX?2123?1?,2?x?4,所以X的概率密度为f(x)??2
?其他.?03、设随机变量X服从参数为2的指数分布, Y服从参数为4的指数分布,则E(2X?3Y)?________. 解 E(2X?3Y)?2EX?3EY?2[DX?(EX)]?3EY?22227. 44、设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有P{|X?Y|?6}?________.
解 根据切比雪夫不等式,
D(X?Y)DX?DY?2cov(X,Y)1??. 23612615、假设随机变量X服从分布t(n),则2服从分布________（并写出其参数）.
XP{|X?Y|?6}?ZY1~t(n),其中Y~N(0,1),Z~?2(n),且Y2~?2(1),从而2?n2~F(n,1). 解 设X?XYZn6、设X1,X2,?,Xn(n?1)为来自总体X的一个样本,对总体方差DX进行估计时,常用的无偏估计量是________.
n1解S?(?Xi?X)2.
n?1i?12三.(本题６分)
设P(A)?0.1,P(B|A)?0.9,P(B|A)?0.2,求P(A|B). 解 由全概率公式可得
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.1?0.9?0.9?0.2?0.27.
P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)1??.
P(B)P(B)3四.(本题8分)
两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:
(1) 任取一个零件是合格品的概率,
(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.
解 设A1,A2分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?21?0.97??0.98?0.973. 331?0.02P(A2B)P(A2)P(B|A2)??3?0.247. (2) P(A2|B)?1?0.973P(B)P(B)五.(本题14分)
袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以X, Y记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:
(1) (X, Y)的联合分布； (3) X, Y是否独立； 解 （1） 1 2 3 1 0
2 (2) X, Y的边缘分布； (4) E(XY).
11 612111
666113 0
126111（2）P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?.
424111P(Y?1)?,P(Y?2)?,P(Y?3)?.
4241?P(X?1)P(Y?1),故X, Y不独立. （3）因为P(X?1,Y?1)?0?16111111123?2?1??2?2??2?3??3?1??3?2??（4）E(XY)?1?2??1?3?.
6126661266六.(本题12分)
设随机变量X的密度函数为
高等教育概率论与数理统计模拟试题及解答
