（2）答：能．
理由：设这2003个数的相邻两数乘积之和为P． 开始时，P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，
经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，
此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式（a－d）（b－c）＞0，即ab+cd＞
ac+bd，交换b，c的位置后，
这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk+1，有Pk+1－Pk=（ac+cb+bd）－（ab+bc+cd）=ac+bd－ab－cd＜0．
所以Pk+1－Pk≤－1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1， 由于相邻两数乘积总大于0，
故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有（a－d）（b－c）≤0．
１２、解：（1）x?（2）因为x?
1
满足条件． ……………5分 2
b
，a，为互质的正整数，且a≤8，所以 ab2?1??3?1， 即 (2?1)a?b?(3?1)a．
a当a=1时，(2?1)?1?b?(3?1)?1，这样的正整数b不存在．
1． 22当a=3时，(2?1)?3?b?(3?1)?3，故b=2，此时x?．
3当a=2时，(2?1)?2?b?(3?1)?2，故b=1，此时x?当a=4时，(2?1)?4?b?(3?1)?4，与a互质的正整数b不存在．
当a=5时，(2?1)?5?b?(3?1)?5，故b=3，此时x?3． 5当a=6时，(2?1)?6?b?(3?1)?6，与a互质的正整数b不存在． 当a=7时，(2?1)?7?b?(3?1)?7，故b=3，4，5此时x?当a=8时，(2?1)?8?b?(3?1)?8，故b=5，此时x?所以，满足条件的所有分数为
１３、解：（1）∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°， ∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=∠ABC=×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，∴BQ=CQ， ∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①， 过点P作PD∥BQ交CQ于点D，则∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°， ∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°， ∵∠ABC=80°， ∴∠ABC=∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP， ∵在△ABP与△ADP中，
5 8345，，． 7771233455，，，，，，．………………15分 2357778，∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②， 由①②可得，BQ+AQ=AB+BP； （2）2α
１４、证明:(1)若平面上存在距离为2的两个点A,B异色,设O为它们的中点,不妨设A,O同色.考虑以AO为一边的正三角形AOC,AOD,若C,D中有一个与A,O同色,则该三角形满足题意.否则BCD为边长3的同色正三角形.
(2)否则平面上任两个距离为2的点均同色,考虑任意两个距离为1的点,以他们连线为底,2为腰长作等腰三角形,则任一腰的两顶点同色.所以三个顶点同色,即任两个距离为1的点同
色.所以平面上任意一个边长为1的正三角形三个顶点同色.证毕
１５、解：( 1)假设n = 10 时已经排出. 则后九个数之和小于或等于30. 从而, 第一个数不小于25, 矛盾. 故不能排出.
( 2)与( 1)的考虑方式相同.当n= 11, 12, 13, 14时, 均不能排出.当n= 15时, 由前九个数之和小于或等于45, 推出第十个数排10;又从后面九个数之和小于或等于45, 推出第一个数排10. 然而, 只有一个10, 故也不能排出.当n= 16时, 可以排出. 如10, 5, 1, 7, 6, 2, 8, 3, 4, 9或9, 4, 3, 7, 2, 6, 8, 1, 5, 10.据此知可排出时, n 的最小值是16. １６、(1)设a最大,由题意必有a＞0，b+c=2－a,bc=4/a, 于是b,c是方程x^2－(2－a)x+4/a=0的两实根 则△=(a－2)^2－4*4/a≥0 去分母得a^3－4a^2+4a－16≥0, (a－4)(a^2+4)≥0 所以a≥4 又当a=4，b=c=－1
即a，b，c中最大者的最小值为4 （2）因为abc=4＞0，a+b+c=2＞0 所以a，b，c可能全为正，或一正二负
当a，b，c全为正时，由（1）知a，b，c中最大者的最小值为4，这与a+b+a=2矛盾 当a，b，c一正二负时，设a＞0，b＜0，c＜0
则|a|+|b|+|c|=a－b－c=a－（b+c）=a－（2－a）=2a－2 由（1）知a≥4 所以2a－2≥6
所以|a|+|b|+|c|的最小值就是6
１７、过D做BC的平行线,过C做AB的平行线,两线交于一点F,连接EF 设∠ABC=x度 ∵BC//DF,CF//DB； ∴四边形BDFC为平行四边形. ∴∠BCF=∠FDB=∠ABC= x度 ∴∠EAD=∠ACF=2x度
又∵AB=AC,BC=AD=DE=CE. ∴AE=BD=CF；DF=BC=DE. 在△ADE和△EFC中
CF=AE CE=DE ∠ECF=∠EAD=2x ∴△ADE≌△EFC ∴EF=AD,△EFD为等边三角形 ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=(180－2×2x)+x=60 x=40 ∴∠BAC=180－2×40=100度.
初二数学竞赛试题及答案
