2020中考数学 压轴专题：二次函数与几何综合(含答案)

2020中考数学 压轴专题：二次函数与几何综合

1. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交

于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1. (1)求抛物线解析式；

(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1

(3)首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值．

第1题图

解：(1)令y＝0，得x2－bx－c＝0，

由根与系数的关系可知m－2＋2m＋1＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c， b

又∵抛物线的对称轴为x＝＝1，即b＝2，

2∴m－2＋2m＋1＝2，解得m＝1， ∴c＝3，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；

?y＝－x2＋2x＋3?(2)由?可得：x2＋(k－2)x－1＝0，

??y＝kx＋2

∴x1＋x2＝2－k，x1x2＝－1，

∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2－k）2＋4≥2， 当k＝2时，|x1－x2|取到最小值2， 此时x1＝－1，x2＝1，

1

∴直线解析式为y＝2x＋2， ∴M(－1，0)，N(1，4)；

第1题解图

(3)如解图，设平移后的O、B两点为O′和B′，以O′B′、PB′为边作平行四边形P′O′B′P，则有PB′＝P′O′，PP′＝O′B′，再将C点以x轴为对称轴对称到C′点，连接P′C′，O′C′，则有O′C′＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′≥P′C′，

又由(1)易知P(1，4)，

∵P′P＝O′B′＝OB＝3，C(0，3)， ∴P′(－2，4)，C′(0，－3)，PC＝2， 7

∴直线P′C′的解析式为y＝－x－3，

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直线P′C′与x轴的交点为(－，0)，

7∵PC，O′B′为定值，

∴当CO′＋PB′取最小值P′C′时L最小， 615

此时O′(－，0)，则B′(，0)．

77又∵P′C′＝（4＋3）2＋22＝53， ∴L最小值＝P′C′＋PC＋O′B′＝53＋2＋3.

2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝x＋1相交于A(－1, 0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点

C(5，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.

2

①当PE＝2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

解：(1)∵点B(4，m)在直线y＝x＋1上， ∴m＝4＋1＝5， ∴B(4，5)，

?a－b＋c＝0a＝－1把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得???16a＋4b＋c＝5，解得?

?b＝4，

??25a＋5b＋c＝0??c＝5∴抛物线解析式为y＝－x2＋4x＋5;

(2)①设P(x，－x2＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，D(x，0)， 则PE＝|－x2＋4x＋5－(x＋1)|＝|－x2＋3x＋4|，DE＝|x＋1|， ∵PE＝2ED，

∴|－x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，

当－x2＋3x＋4＝2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝2，当x＝－1时，P与A重合不合题意，舍去， ∴P(2，9)；

当－x2＋3x＋4＝－2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝6，当x＝－1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P(6，－7);

综上可知P点坐标为(2，9)或(6，－7)；

②存在点P的坐标为(34，119

16)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)．

【解法提示】设P(x，－x2＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，且B(4，5)，C(5，0)，

∴BE＝（x－4）2＋（x＋1－5）2＝2|x－4|，CE＝（x－5）2＋（x＋1）2＝2x2－8x＋26， BC＝（4－5）2＋（5－0）2＝26，

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