2020中考数学 压轴专题:二次函数与几何综合
1. 已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+1,0)(点A在点B的左侧),与y轴相交
于点C,顶点为P,对称轴为l:x=1. (1)求抛物线解析式;
(2)直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1,y1),N(x2,y2)(x1 (3)首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L,若线段OB在x轴上移动,求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值. 第1题图 解:(1)令y=0,得x2-bx-c=0, 由根与系数的关系可知m-2+2m+1=b,(m-2)(2m+1)=-c, b 又∵抛物线的对称轴为x==1,即b=2, 2∴m-2+2m+1=2,解得m=1, ∴c=3, ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; ?y=-x2+2x+3?(2)由?可得:x2+(k-2)x-1=0, ??y=kx+2 ∴x1+x2=2-k,x1x2=-1, ∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(2-k)2+4≥2, 当k=2时,|x1-x2|取到最小值2, 此时x1=-1,x2=1, 1 ∴直线解析式为y=2x+2, ∴M(-1,0),N(1,4); 第1题解图 (3)如解图,设平移后的O、B两点为O′和B′,以O′B′、PB′为边作平行四边形P′O′B′P,则有PB′=P′O′,PP′=O′B′,再将C点以x轴为对称轴对称到C′点,连接P′C′,O′C′,则有O′C′=O′C,∴CO′+PB′=P′O′+O′C′≥P′C′, 又由(1)易知P(1,4), ∵P′P=O′B′=OB=3,C(0,3), ∴P′(-2,4),C′(0,-3),PC=2, 7 ∴直线P′C′的解析式为y=-x-3, 26 直线P′C′与x轴的交点为(-,0), 7∵PC,O′B′为定值, ∴当CO′+PB′取最小值P′C′时L最小, 615 此时O′(-,0),则B′(,0). 77又∵P′C′=(4+3)2+22=53, ∴L最小值=P′C′+PC+O′B′=53+2+3. 2. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(-1, 0),B(4,m)两点,且抛物线经过点 C(5,0). (1)求抛物线的解析式; (2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E. 2 ①当PE=2ED时,求P点坐标;②是否存在点P使△BEC为等腰三角形?若存在请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 第2题图 解:(1)∵点B(4,m)在直线y=x+1上, ∴m=4+1=5, ∴B(4,5), ?a-b+c=0a=-1把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得???16a+4b+c=5,解得? ?b=4, ??25a+5b+c=0??c=5∴抛物线解析式为y=-x2+4x+5; (2)①设P(x,-x2+4x+5),则E(x,x+1),D(x,0), 则PE=|-x2+4x+5-(x+1)|=|-x2+3x+4|,DE=|x+1|, ∵PE=2ED, ∴|-x2+3x+4|=2|x+1|, 当-x2+3x+4=2(x+1)时,解得x=-1或x=2,当x=-1时,P与A重合不合题意,舍去, ∴P(2,9); 当-x2+3x+4=-2(x+1)时,解得x=-1或x=6,当x=-1时,P与A重合不合题意,舍去,∴P(6,-7); 综上可知P点坐标为(2,9)或(6,-7); ②存在点P的坐标为(34,119 16)或(4+13,-413-8)或(4-13,413-8)或(0,5). 【解法提示】设P(x,-x2+4x+5),则E(x,x+1),且B(4,5),C(5,0), ∴BE=(x-4)2+(x+1-5)2=2|x-4|,CE=(x-5)2+(x+1)2=2x2-8x+26, BC=(4-5)2+(5-0)2=26, 3
2020中考数学 压轴专题:二次函数与几何综合(含答案)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)