2020年华杯赛试题解析

由天下分享时间：2025/1/11 4:38:40 加入收藏我要投稿点赞

2020年华杯赛试题解析1.解答题（25分）

0.625?1.6211

??6?0.12?16???________.

121330422?22.4?1.2?42560.875?

7【答案】

514【知识点】计算，分数裂项【解析】

5878??

2031118587原式???????

51212625325163042???2555611111?????6122030421111111111??????????23344556675?142.2020年鼠年的一次在线趣味课堂上，老师组织六年级一班同学（不到100人）做“微信传数”游戏，游戏规则是：

A同学心里先想好一个自然数，将这个数乘以2020再加1后微信传给B同学；B同学将A同学告诉他的数除以2020再加1，将结果微信传给C同学；C同学将B同学告诉他的数乘以2020再加1，将结果微信传给D同学；D同学将C同学告诉他的数除以2020再加1，将结果微信传给E同学；E同学将D同学告诉他的数乘以2020再加1，将结果微信传给F同学；……

按照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，最后一位同学将数传给A同学，此时游戏结束.如果最后传给A同学的数是58604，那么参加“微信传数”

的同学共有多少位？A同学最初想好的自然数是多少？【答案】47；6

【知识点】归纳递推，周期问题【解析】

设A同学最初所想的数是x；

B同学得到的数可以表示为：2020x?1；

C同学得到的数可以表示为：(2020x?1)?2020?1?x?1D同学得到的数可以表示为：(x?1

；20201

)?2020?1?2020x?1?2020?2；20202

E同学得到的数可以表示为：(2020x?2022)?2020?1?x?2；

2020F同学得到的数可以表示为：(x?2

)?2020?1?2020x?2?2020?3；20203

；2020G同学得到的数可以表示为：(2020x?4043)?2020?1?x?3H同学得到的数可以表示为：(x?3……

)?2020?1?2020x?3?2020?4；2020令2020x?n?2020?(n?1)?58604，n?1个位数字是4，考虑n?13、23、33、43、53…尝试发现当n?23时，x?6，那么A同学最初所想的数是6，总共有47名同学.3.甲、乙、丙三人分苹果，分法如下：先在三张卡片上写上自然数a、b、c，其中a?b?c，每一轮分苹果时，每人抽一张卡片，然后把卡片上的数减去a，得数就是他这一轮分得的苹果数.经过若干轮这种分法后，甲总共分得12个苹果，乙分得9个苹果，丙分得6个苹果，又知丙在各轮中抽到的卡片上写的数字的和是18，问：a、b、c是哪三个数？为什么？

【答案】a?4，b?7，c?10

【知识点】计数，组合【解析】

每一轮分苹果，三人得到的总数为a?a?b?a?c?a?b?c?2a；设总共分苹果n轮，则(b?c?2a)?n?12?9?6?27；考虑a、b、c、n都是正整数，则有如下四种可能：①b?c?2a?1，n?27；②b?c?2a?27，n?1；③b?c?2a?3，n?9；④b?c?2a?9，n?3；

丙分到6个苹果，且抽到的数字和是18，则18?na?6，那么na?12；

n是12的因数，只能取1或3，分类讨论；

当n?1时，a?12，这样丙得到的苹果数是a?a?0，矛盾，舍去；当n?3时，a?4，b?c?9?2a?17，考虑17的分拆方式，分类讨论；①a?4，b?8，c?9，则a?a?0，b?a?4，c?a?5，凑不出12、9、6；②a?4，b?7，c?10，则a?a?0，b?a?3，c?a?6，可以凑出12、9、6；

甲

第一轮第二轮第三轮

633

乙360

丙006

③a?4，b?6，c?11，则a?a?0，b?a?2，c?a?7，凑不出12、9、6；④a?4，b?5，c?12，则a?a?0，b?a?1，c?a?8，凑不出12、9、6；综上，a?4，b?7，c?10.

4.在梯形ABCD的底边AD（或其延长线）上任取一点N，过N作平行于对角线

AC、BD的直线，分别交边CD（或CD的延长线）、AB（或AB的延长线）于点K、M，

证明：?BMN与?NKC的面积相等.

【答案】S?BMN?S?CNK

【知识点】几何，等积变形，相似模型【解析】

证明：因为MN//BD，则S?BMN?S?MND，因为KN//AC，则S?CNK?S?ANK；设AN?a，DN?b，梯形ABCD高为h，过M作三角形MND的高，记作h1；由于三角形AMN与三角形ABD相似，则那么S?MND