2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-
微专题01 与解三角形有关的最值问题
与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题．
【例1】在△ABC中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________． 25答案： 5
8－a2－b2
a＋b－
2a2＋b2－c23?a2＋b2?－83ab－4
解析：(解法1)因为cosC＝＝＝≥，所以
2ab2ab4ab2ab
2
2
ab≤
412sinC2sinC
，从而S＝absinC≤.设t＝，则3t＝2sinC＋2tcosC＝
23－2cosC3－2cosC3－2cosC
2525
2t2＋1·sin(C＋φ)，其中tanφ＝t，故3t≤2t2＋1，解得t≤，所以Smax＝，当且仅
552155当a＝b＝且tanC＝时，等号成立．
52
(解法2)以AB所在的直线为x轴，它的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则cccc
－，0?，B?，0?，C(x，y)，则由a2＋b2＋2c2＝8得?x－?2＋y2＋?x＋?2＋y2＋2c2＝8，A??2??2??2??2?5c25c2cc22即x＋y＝4－，即点C在圆x＋y＝4－上，所以S≤r＝
4422
2
2
5
4－c2＝4
1528?216258252
c－＋≤·－?，当且仅当c＝时取等号，故S＝. max5?24?5555
【方法规律】
1
1. 注意到a2＋b2＋2c2＝8中a，b是对称的，因此将三角形的面积表示为S＝absinC，利用
2余弦定理将ab表示为C的形式，进而转化为三角函数来求它的最值．
2. 将c看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点C所满足的条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件a2＋b2＋2c2＝8得到点C的轨迹方程，进而来求出边AB上的高所满足的条件．
3. 解法1是从将面积表示为角C的形式来加以思考的，而解法2则是将面积表示为边c的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式a2＋b2＋2c2＝8中的a，b是对称关系．解法2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．
sinA＋sinB
【例2】在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC＝.
cosA＋cosB
(1) 求角C的大小；
(2) 若△ABC的外接圆直径为1，求a2＋b2＋c2的取值范围． sinA＋sinBsinCsinA＋sinB
解析：(1) 因为tanC＝，即＝，
cosCcosA＋cosBcosA＋cosB所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以sin(C－A)＝sin(B－C)． π
所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，所以C＝. 3π33
(2) (解法1)由C＝可得c＝2RsinC＝1×＝，
322且a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB.
ππ2π2πππ
设A＝＋α，B＝－α，0 333333331－cos2A1－cos2B所以a2＋b2＋c2＝＋sin2A＋sin2B＝＋＋ 442271?2π＋2α?＋cos?2π－2α??＝7＋1cos2α. ＝－?cos??3??4242??3 ππ2π2π139 由－<α<知－<2α<，－ 3333224π33 (解法2)因为C＝，所以c＝2RsinC＝1×＝. 322 a2＋b23223 又因为c＝a＋b－2abcosC，所以＝a＋b－ab≥，故a2＋b2≤. 422 2 2 2 39?33 又a2＋b2＝＋ab>，故a2＋b2＋c2∈??2，4?. 44 【方法规律】 点评：本题的第(2)问是一种典型问题即三角形中有一个边以及对角为定值，求与两个边或π3两个角有关系的最值问题．如本题中C＝，c＝，可以求a2＋b2，a＋b，ab，sinA＋sinB， 322π sinAsinB，cosA＋cosB，cosAcosB的取值范围．方法有二：一是利用A＋B＝，进行消元(代 3入消元或中值换元(如本题解法一))，转化为三角函数值域求解；二是利用基本不等式，但基本不等式比较适合求一种最值，求范围有时不适合．本题如果加大难度，可以将三角形改成锐角三角形，这时基本不等式就不太适合了． （通过本课题的学习，你学到了什么？你还有其它疑惑吗？） A组 A3 1．在△ABC中，已知2cos2＝sinA，若a＝23，则△ABC周长的取值范围为________． 23答案：(43，4＋23] πA3323??A－π?＝3，解析：由2cos2＝sinA，可得cosA＋1＝sinA，则sin?A－3?＝1，即sin??3?223332πbca 又0＜A＜π，可解得A＝.所以＝＝＝4，即b＝4sinB，c＝4sinC，从而a＋b 3sinBsinCsinAππππ －B?＝23＋4sin?B＋?.又0＜B＜，所以＋c＝23＋4sinB＋4sinC＝23＋4sinB＋4sin??3??3?33ππ2π ＋B?≤4＋23，即a＋b＋c∈(43，4＋23]． ＜B＋＜，可得43＜23＋4sin?3??33 2．在△ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________． 答案： 2＋1 2 解析：(解法1)因为sinC＝2cosAcosB，所以sin(A＋B)＝2cosAcosB，化简得tanA＋tanB＝2， cos2Acos2BcosA＋cosB＝2＋ sinA＋cos2Asin2B＋cos2B 2 2 ＝ 11 ＋2 tanA＋1tanB＋1 2tan2A＋tan2B＋2 ＝ ?tanAtanB?2＋tan2A＋tan2B＋1
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