圆中常见的分类讨论题选析
保明华
有关圆的题目经常出现图形的形状、大小和位置关系不确定的情况。在解答时一定要进行分类讨论才能使解答结果完整。现列举几例分析，供同学们参考。
一. 圆周角问题
例1. 已知?ABC内接于圆O，?OBC?35?，则?A的度数为________。
分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。
解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图1，
??OBC?35?
??BOC?110?
??BAC?55?
AOBC 图1
（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图2，
??OBC?35? ??BOC?110?
??BPC?55? ??BAC?125?
所以?A的度数是55?或125?。
POBAC 图2
例2. 如图3，AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，?BAC?60?，则弦AB所对的圆周角等于__________。
P'OBPAC 图3
分析：因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。
解：（1）当这个圆周角的顶点在弦切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为120?。 （2）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的弧以外的弧上时，求得这个圆周角为60?。 所以弦AB所对的圆周角等于120?或60?。
二. 半径问题
例3. 已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。 分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆。
解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。
（2）当圆O2是小圆时，则圆O1的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O1的半径为5cm。
所以圆O1的半径是3cm或5cm。
三. 圆中两平行弦的距离问题
例4. 圆O的半径为5cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD?8cm，求AB和CD的距离。 分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。
解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图4，过点O作OM?AB交AB于点M，交CD于N，并联结OB、OD，得Rt?OMB，Rt?OND，然后由勾股定理求得：
OM?4cm，ON?3cm，故AB和CD的距离为1cm。
ACNOBD 图4
（2）当AB、CD在圆心的异侧时，如图5，仍可求得OM?4cm，ON?3cm。故AB和CD的距离为7cm。
所以AB和CD的距离为1cm和7cm。
AMBOCND
四. 圆心距问题
例5. 两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。
分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。 解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6?4?2cm。 （2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6?4?10cm。 所以两圆的圆心距是2cm或10cm。
例6. 相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_________。 分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。
解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图6，设AB是公共弦，O1O2交AB于点C，则AC?4，由勾股定理解得O1C?43，O2C?3，故O1O2?43?3。
AO1O2CB 图6
（2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图7，可求得O1C?43，O2C?3。故
O1O2?43?3。
ACO1BO2
所以这两圆的圆心距为43?3或43?3。
圆中常见的分类讨论题选析
