数列专项之求和-4
（一）等差等比数列前n项求和
n(a1?an)n(n?1)1、 等差数列求和公式：Sn??na1?d
22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?q（二）非等差等比数列前n项求和
⑴错位相减法 ② 数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，则数列?an?bn?的求和就要采用此法. ②将数列?an?bn?的每一项分别乘以?bn?的公比，然后在错位相减，进而可得到数列
?an?bn?的前n项和.
此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.
23n?1例23. 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x(x?0)
例24.求数列
2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 2222
⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项an?c (a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an(an?b1)(an?b2)变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设an??an?b1??an?b2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
??c，从而可得
b2?b1cc11=(?).
(an?b1)(an?b2)(b2?b1)an?b1an?b2
常见的拆项公式有： ①
1111111??；?(?); ②
n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1③
11m?1mm?(a?b); ④Cn ?Cn?C?1n;a?ba?b1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)⑤n?n!?(n?1)!?n!. ⑥…… 例25. 求数列
11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
例26. 在数列{an}中，an?项的和.
⑶分组法求和 212n，又bn?，求数列{bn}的前n??????an?an?1n?1n?1n?1有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 例28. 求数列的前n项和：1?1,
⑷倒序相加法 如果一个数列?an?，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
111?4,2?7,???,n?1?3n?2 aaaa1?an?a2?an?1?...
012nn例29.求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2
例30. 求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
⑸记住常见数列的前n项和： ①1?2?3?...?n?n(n?1); 22②1?3?5?...?(2n?1)?n; ③12?22?32?...?n2?3331n(n?1)(2n?1). 6④1?2?3???n3?[n(n?1)]2
12答案详解
例23. 解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比
数列{xn?1} 的通项之积。
Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1 ………………………. ①
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………………. ②（设制错位） ①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴ Sn? 2(1?x)例24. 解：由题可知，{
2n1}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通n2n2项之积。
2462n设Sn??2?3?????n…………………………………①
222212462n Sn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制错位）222221222222n①－②得 (1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）
222222212n ?2?n?1?n?1
22n?2∴ Sn?4?n?1
2例25. 解：设an?1n?n?11??n?1?n （裂项） 11n?n?1则 Sn?1?22?3????? （裂项求和）
＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1
12nn??????? n?1n?1n?12211 ∴ bn??8(?) （裂项）
nn?1nn?1?22
∴ 数列{bn}的前n项和
1111111 Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?)] （裂项求和）
22334nn?118n ＝8(1? ) ＝
n?1n?1例26. 解： ∵ an?32例27. 解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k
∴ Sn??k(k?1)(2k?1)＝?(2k3?3k2?k)
k?1k?1nn将其每一项拆开再重新组合得
n3n2nSn＝2?k?3?k??k （分组）
k?1k?1k?1＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)
n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)?? ＝ （分组求和） 222n(n?1)2(n?2) ＝
2例28. 解：设Sn?(1?1)?(111?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2) aaa将其每一项拆开再重新组合得
111Sn?(1??2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
2211?na?a1?n(3n?1)n(3n?1)na? 当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?a
012n例29. 证明： Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn………………………①
把①式右边倒转过来得
nn?110Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn （反序） mn?m?Cn 又由Cn可得
01n?1n?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn Sn?(2n?1)Cn …………… ② 01n?1n?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn（反序相加）
∴ Sn?(n?1)?2n
例30. 解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①
将①式右边反序得
S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..②
（反序）
又因为 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得 （反序相加）
2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89
∴ S＝44.5
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